Построение перпендикуляра к прямой
Построить перпендикуляр к прямой — значит провести через заданную точку прямую, образующую с данной прямой прямой угол. Построение выполняют циркулем и линейкой: отдельно для точки на прямой и точки вне прямой.
Построение через точку на прямой
Пусть точка \(A\) лежит на прямой \(l\). 1) С центром в \(A\) проведите дугу, пересекающую прямую \(l\) в точках \(B\) и \(C\). Тогда \(AB=AC\). 2) С центрами в \(B\) и \(C\) и одинаковым радиусом, большим половины \(BC\), проведите дуги по одну сторону от прямой. 3) Обозначьте их пересечение точкой \(D\). 4) Проведите прямую \(AD\). Она перпендикулярна прямой \(l\).
Построение через точку вне прямой
Пусть точка \(P\) не лежит на прямой \(l\). 1) С центром в \(P\) проведите дугу, пересекающую \(l\) в точках \(B\) и \(C\). 2) С центрами в \(B\) и \(C\) проведите дуги одинакового радиуса, большего половины \(BC\), по одну или по разные стороны от прямой. Их пересечение обозначьте \(Q\). 3) Проведите прямую \(PQ\). Она является искомым перпендикуляром.
В обоих случаях точки \(B\) и \(C\) равноудалены от точки, через которую строят перпендикуляр: \(AB=AC\) или \(PB=PC\). Точка пересечения дуг также равноудалена от \(B\) и \(C\). Поэтому искомая прямая проходит через две точки, равноудалённые от концов отрезка \(BC\), а значит, является серединным перпендикуляром к \(BC\) и перпендикулярна прямой \(l\).
Чтобы построить перпендикуляр к прямой \(l\) через точку \(P\) вне неё, сначала находят на \(l\) две точки \(B\) и \(C\) пересечением дуги с центром \(P\). Затем строят дуги с центрами \(B\) и \(C\). Соединив \(P\) с точкой пересечения дуг \(Q\), получают \(PQ\perp l\).
Серединный перпендикуляр строят к отрезку и обязательно через его середину. Перпендикуляр к прямой через заданную точку может проходить через любую точку прямой, указанную в условии.
Какой радиус выбирают для дуг с центрами в точках \(B\) и \(C\)?
Главное
- Перпендикуляр пересекает прямую под углом \(90^\circ\).
- Через точку на прямой или вне её строят две равноудалённые от неё точки, затем проводят искомую прямую.
- Основа построения — свойство серединного перпендикуляра к отрезку.