Периодическая функция
Периодическая функция — это функция, значения которой повторяются через одинаковый ненулевой промежуток по аргументу. Чтобы найти минимальный период, нужно определить наименьшее положительное число, после которого график и значения функции начинают повторяться.
Основная формула
Если \(T\) — период функции, то и числа \(2T\), \(3T\) и вообще \(nT\), где \(n\) — целое число, также являются её периодами. Поэтому важно отличать любой период от минимального периода. У периодической функции не всегда существует минимальный положительный период, но у стандартных тригонометрических функций он есть.
Как находить период
- Вспомнить базовый период: у \(\sin x\) и \(\cos x\) он равен \(2\pi\), у \(\tan x\) и \(\cot x\) — \(\pi\).
- Если аргумент имеет вид \(kx+b\), разделить базовый период на \(|k|\).
- Проверить, не изменяет ли период сумма, произведение или другая часть выражения.
- Для графика сравнить одинаковые участки, повторяющиеся по горизонтали; график функции связан с её периодом.
Найдём период функции \(f(x)=\cos(3x-1)\). Базовый период косинуса равен \(2\pi\). Коэффициент при \(x\) по модулю равен \(3\), поэтому \(T=\frac{2\pi}{3}\). Сдвиг \(-1\) внутри аргумента меняет положение графика, но не его период.
Каков минимальный положительный период функции \(f(x)=\sin 2x\)?
Периодичность не означает монотонность: периодическая функция повторяется, а монотонная на промежутке только возрастает или убывает. Также число \(0\) не является периодом, потому что период по определению ненулевой.
Главное
- Период \(T\) удовлетворяет равенству \(f(x+T)=f(x)\) для всех допустимых \(x\).
- Минимальный период — наименьший положительный период.
- Для \(\sin(kx+b)\) и \(\cos(kx+b)\) минимальный период равен \(\frac{2\pi}{|k|}\); сдвиг \(b\) его не меняет.