Задания № 10, 11 · ЕГЭ

Ортогональная проекция точки

Как получить проекцию точки на прямую или плоскость

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Ортогональная проекция точки — это точка, в которой перпендикуляр из данной точки пересекает прямую или плоскость. Иными словами, проекция показывает основание кратчайшего отрезка от точки до прямой или плоскости.

Ортогональная проекция точкиСлово «ортогональный» означает «перпендикулярный».

Пусть дана точка \(A\) и прямая \(l\). Если из точки \(A\) проведён перпендикуляр к прямой \(l\) и его основание обозначено \(H\), то точка \(H\) называется ортогональной проекцией точки \(A\) на прямую \(l\). Если дана плоскость \(\alpha\) и перпендикуляр \(AH\) к плоскости \(\alpha\), то точка \(H\) называется ортогональной проекцией точки \(A\) на плоскость \(\alpha\).

Основные свойства

1. Отрезок \(AH\), соединяющий точку и её проекцию, перпендикулярен прямой или плоскости, на которую выполнено проектирование. Перпендикулярность прямой и плоскости подробно рассматривается на странице перпендикулярность прямой и плоскости. 2. Для заданной точки и заданной прямой или плоскости проекция единственна: через точку можно провести единственный перпендикуляр к прямой, а к плоскости — единственный перпендикуляр. 3. Если точка уже лежит на прямой или плоскости, её проекция совпадает с самой точкой.

\[AH \perp l \Rightarrow H \text{ — проекция } A \text{ на } l; \qquad AH \perp \alpha \Rightarrow H \text{ — проекция } A \text{ на } \alpha.\]

Длина отрезка \(AH\) равна расстоянию от точки \(A\) до прямой или плоскости. Поэтому проекция помогает находить кратчайшее расстояние. Если проектируют не точку, а фигуру, проекции всех её точек образуют новую фигуру; например, проекция отрезка определяется проекциями его концов.

№

Пример

Точка \(A\) находится над плоскостью \(\alpha\). Из неё опустили перпендикуляр \(AH\) на плоскость, причём \(AH=6\) см. Тогда \(H\) — ортогональная проекция точки \(A\) на \(\alpha\), а расстояние от \(A\) до плоскости равно \(6\) см.

Не путайте

Ортогональная проекция — не любая точка пересечения с прямой или плоскостью. Если соединяющий отрезок не перпендикулярен объекту, полученная точка является обычным пересечением, но не ортогональной проекцией.

Проверьте себя

Точка \(A\) лежит в плоскости \(\alpha\). Какова её ортогональная проекция на \(\alpha\)?

Главное за минуту

Главное

Ортогональная проекция точки — основание перпендикуляра из точки на прямую или плоскость.
Проекция единственна, а отрезок от точки до проекции перпендикулярен объекту проектирования.
Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки до прямой или плоскости.