Однородное уравнение
Однородное уравнение — это уравнение, в котором каждый член имеет одну и ту же суммарную степень относительно переменных. Такое свойство позволяет применять специальную замену переменной и часто упрощать уравнение.
Как распознать однородность
Чтобы проверить уравнение, нужно привести его к виду, где в каждой части находятся одночлены, и сравнить их степени. Например, в одночлене \(3x^2y\) суммарная степень равна \(2+1=3\), а в одночлене \(-5xy^2\) — тоже \(1+2=3\). Поэтому выражение \(3x^2y-5xy^2=0\) однородно.
В общем виде однородное уравнение двух переменных степени \(n\) содержит только одночлены суммарной степени \(n\). Коэффициенты \(a_1,a_2,\dots,a_{n+1}\) — числа. Если в уравнении встречается свободный член или одночлен другой степени, уравнение не является однородным.
Рассмотрим уравнение \(x^2-3xy+2y^2=0\). Все три члена имеют степень \(2\). При \(y\ne0\) можно разделить уравнение на \(y^2\) и сделать замену \(t=\frac{x}{y}\). Получим \(t^2-3t+2=0\), откуда \(t=1\) или \(t=2\). Значит, исходное уравнение задаёт отношения \(x=y\) или \(x=2y\). При решении важно отдельно проверить случай \(y=0\).
Однородность не означает, что все коэффициенты одинаковы или что уравнение состоит только из одинаковых букв. Например, \(x^2+xy+y^2=0\) однородно, хотя коэффициенты и виды одночленов различаются. А уравнение \(x^2+y-1=0\) неоднородно: степени его членов равны \(2\), \(1\) и \(0\).
Какое уравнение является однородным?
Главное
- Однородное уравнение имеет члены одной и той же суммарной степени относительно переменных.
- Для проверки нужно найти степень каждого одночлена и сравнить её с остальными.
- При решении часто используют замену \(t=\frac{x}{y}\) или замену переменной, не забывая отдельно рассмотреть случай деления на ноль.