ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 18, 19 · ЕГЭ

Наименьшее целое значение параметра

Как найти минимальное целое значение параметра, при котором неравенство имеет нужные решения
3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Наименьшее целое значение параметра — это минимальное целое число из всех значений параметра, при которых неравенство имеет требуемые решения: например, хотя бы одно целое решение или заданное количество целых решений.

Наименьшее целое значение параметраСлово «параметр» происходит от греческого слова со значением «соразмеряющий»: это величина, которая задаёт вид или положение объекта.
Пусть для каждого параметра \(a\) неравенство задаёт множество решений \(S(a)\). Наименьшим целым значением параметра называют наименьшее число \(a\in\mathbb Z\), при котором выполняется условие задачи: множество \(S(a)\) непусто, содержит целое решение или имеет другое требуемое свойство. Сначала находят все подходящие значения параметра, а затем выбирают среди них минимальное целое.

Как решать

Задачи такого типа относятся к неравенствам с параметрами. Удобно рассматривать параметр как фиксированное число и исследовать, при каких его значениях появляется нужное наименьшее целое решение или вообще хотя бы одно целое решение.

  1. Выразить область допустимых значений переменной и учесть ограничения: знаменатели не равны нулю, подкоренные выражения неотрицательны, аргументы логарифмов положительны.
  2. Определить, при каких значениях параметра множество решений содержит требуемые целые числа.
  3. Получить множество допустимых значений параметра и выбрать его наименьший целый элемент.
\[a_{\min}=\min\{a\in\mathbb Z:\ \text{условие задачи выполнено при параметре }a\}\]
№
Пример

Найти наименьшее целое \(a\), при котором неравенство \(x>a\) имеет целое решение. При любом целом \(a\) можно взять \(x=a+1\), поэтому подходят все \(a\in\mathbb Z\). Наименьшего целого среди всех целых чисел нет. Значит, ответ: такого наименьшего значения не существует. Если же дополнительно требуется \(x\ge 0\), то условие выполнимо при \(a\ge -1\): при \(a=-1\) подходит \(x=0\). Тогда наименьшее целое значение параметра равно \(-1\).

!
Не путайте

Наименьшее целое значение параметра и наименьшее целое решение — разные понятия. В первом случае минимизируют параметр \(a\), во втором — переменную \(x\) при уже выбранном параметре. Также не следует заменять условие «есть целое решение» условием «все решения целые»: это разные задачи.

Проверьте себя

Какое наименьшее целое \(a\) позволяет неравенству \(x\ge a\) иметь решение \(x=2\)?

Главное за минуту

Главное

  • Сначала находят все значения параметра, при которых выполнено требование задачи, затем выбирают минимальное целое.
  • Нужно различать минимальный параметр и наименьшее целое решение переменной.
  • Если множество подходящих целых параметров не ограничено снизу, наименьшего значения не существует.