Задание № 14 · ОГЭ

Монотонность последовательности

Как сравнивать соседние члены числовой последовательности

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Монотонность последовательности показывает, как изменяются её члены при увеличении номера: не уменьшаются, не увеличиваются или остаются постоянными. Для проверки сравнивают соседние члены последовательности.

Последовательность \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) называется возрастающей, если каждый её следующий член не меньше предыдущего: \(a_{n+1} \ge a_n\) для любого натурального \(n\). Она называется убывающей, если \(a_{n+1} \le a_n\) для любого \(n\). Последовательность называется постоянной, если все её члены равны одному и тому же числу: \(a_n=c\), где \(c\) — постоянное число.

Как записывают условие

Чтобы определить монотонность, составляют разность соседних членов \(a_{n+1}-a_n\). Если она неотрицательна при всех допустимых \(n\), последовательность возрастает; если неположительна — убывает; если равна нулю — последовательность постоянная. Например, для последовательности \(a_n=2n-1\) имеем \(a_{n+1}-a_n=2>0\), поэтому она возрастает.

\[a_{n+1}\ge a_n\ \text{— возрастающая};\qquad a_{n+1}\le a_n\ \text{— убывающая};\qquad a_{n+1}=a_n\ \text{— постоянная}.\]

№

Пример

Рассмотрим последовательность \(7, 5, 5, 2, 0, \ldots\). Каждый следующий член не больше предыдущего: \(5\le7\), \(5\le5\), \(2\le5\), \(0\le2\). Значит, последовательность убывающая. Она не является строго убывающей, потому что два соседних члена равны.

Не путайте строгую и нестрогую монотонность

В школьных задачах слова «возрастающая» и «убывающая» иногда используют в строгом смысле: \(a_{n+1}>a_n\) или \(a_{n+1}<a_n\). Поэтому проверяйте условие задачи. Нестрогие варианты допускают равенство: \(a_{n+1}\ge a_n\) и \(a_{n+1}\le a_n\). Постоянная последовательность одновременно является нестрого возрастающей и нестрого убывающей.

Проверьте себя

Какой является последовательность \(a_n=10-n\)?

Главное за минуту

Главное

Монотонность определяют сравнением соседних членов \(a_n\) и \(a_{n+1}\).
Знаки \(a_{n+1}-a_n\): «плюс или ноль» — последовательность возрастает, «минус или ноль» — убывает, ноль — постоянная.
Равенство соседних членов допускается только в нестрогих определениях.