Задания № 8, 9 · ЕГЭ

Производная логарифма

Формулы производных натурального и произвольного логарифма

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Производная логарифма показывает скорость изменения логарифмической функции. Для натурального логарифма она равна обратной величине аргумента, а для сложного аргумента применяется правило производной сложной функции.

Производная натурального логарифма \(\ln x\) при \(x>0\) равна \(\frac{1}{x}\). Для логарифма по основанию \(a\), где \(a>0\) и \(a\ne1\), производная равна \(\frac{1}{x\ln a}\).

Основные формулы

\[(\ln x)'=\frac{1}{x},\quad x>0\]

\[(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a},\quad x>0,\ a>0,\ a\ne1\]

Если под знаком логарифма стоит функция \(u(x)\), нужно дополнительно умножить результат на её производную. Поэтому формулы имеют вид \(\bigl(\ln u(x)\bigr)'=\frac{u'(x)}{u(x)}\) и \(\bigl(\log_a u(x)\bigr)'=\frac{u'(x)}{u(x)\ln a}\). При этом область определения исходного логарифма требует \(u(x)>0\).

№

Пример

Найдём производную функции \(y=\ln(3x^2+1)\). Здесь \(u(x)=3x^2+1\), поэтому \(u'(x)=6x\). По правилу сложной функции получаем \(y'=\frac{6x}{3x^2+1}\).

Не перепутайте

Формула \((\ln x)'=\frac1x\) относится именно к натуральному логарифму. Для произвольного основания появляется множитель \(\frac1{\ln a}\). Кроме того, производная \(\ln u(x)\) — это не просто \(\frac1{u(x)}\): необходимо умножить на \(u'(x)\). Общие случаи собраны в таблице производных элементарных функций.

Проверьте себя

Чему равна производная функции \(y=\log_2(5x-1)\)?

Вывод этих формул опирается на определение производной функции и свойства логарифмов. В задачах сначала определите внутреннюю функцию, затем примените формулу и проверьте, что аргумент логарифма положителен.

Главное за минуту

Главное

\((\ln x)'=\frac1x\), а \((\log_a x)'=\frac1{x\ln a}\).
Для сложного аргумента умножайте на производную аргумента.
Аргумент логарифма в области определения должен быть положительным.