Тапсырмалар № 8, 9 · ЕГЭ

Локальный экстремум

Как распознать максимум и минимум функции по производной

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Локальный экстремум — это значение функции, которое в некоторой окрестности точки оказывается наибольшим или наименьшим. Локальный максимум и минимум находят, в частности, по изменению знака производной.

Локальный экстремум

Пусть функция \(f(x)\) определена в некоторой окрестности точки \(x_0\). Если для всех близких к \(x_0\) значений \(x\) выполняется \(f(x)\le f(x_0)\), то в точке \(x_0\) функция имеет локальный максимум. Если \(f(x)\ge f(x_0)\), то в точке \(x_0\) функция имеет локальный минимум. Точка \(x_0\) называется точкой локального экстремума, а число \(f(x_0)\) — значением экстремума.

Признак по производной

Сначала рассматривают критические точки: точки, где производная равна нулю или не существует, если сама функция в них определена. Затем проверяют знак производной слева и справа от точки.

\[f'(x):\quad +\to -\ \Longrightarrow\ \text{локальный максимум};\qquad -\to +\ \Longrightarrow\ \text{локальный минимум}.\]

Если производная меняет знак с плюса на минус, функция сначала возрастает, а затем убывает. Поэтому график достигает локальной вершины. При смене знака с минуса на плюс функция сначала убывает, а затем возрастает, поэтому получается локальная впадина. Такой анализ является частью исследования функции по производной.

№

Пример

Рассмотрим \(f(x)=x^2-4x\). Производная \(f'(x)=2x-4\). Она равна нулю при \(x=2\). При \(x<2\) производная отрицательна, а при \(x>2\) положительна: знак меняется \(-\to +\). Значит, при \(x=2\) функция имеет локальный минимум. Его значение: \(f(2)=4-8=-4\).

Не путайте

Точка, где \(f'(x_0)=0\), не обязательно является точкой экстремума. Например, для \(f(x)=x^3\) имеем \(f'(0)=0\), но производная положительна и слева, и справа от нуля. Знак не меняется, поэтому экстремума нет. Кроме того, локальный экстремум не обязан быть наибольшим или наименьшим значением функции на всей области определения.

Проверьте себя

Какой экстремум имеет функция, если производная меняет знак с \(+\) на \(-\)?

Главное за минуту

Главное

Локальный максимум — переход функции от возрастания к убыванию; локальный минимум — от убывания к возрастанию.
Для проверки экстремума исследуют знак производной по обе стороны промежутков монотонности.
Равенство \(f'(x_0)=0\) само по себе не гарантирует экстремум: важна смена знака производной.