Квадратичная функция
Квадратичная функция — это функция вида \(y=ax^2+bx+c\), где \(a\ne0\). Её графиком функции является парабола: кривая с вершиной, осью симметрии и ветвями, направленными вверх или вниз.
Основные элементы параболы
Парабола имеет единственную вершину — точку, в которой она достигает наименьшего или наибольшего значения. Если \(a>0\), ветви направлены вверх, поэтому в вершине функция принимает минимальное значение. Если \(a<0\), ветви направлены вниз, и значение в вершине максимально.
Вершина имеет координаты \((x_\text{в};y_\text{в})\). Прямая \(x=x_\text{в}\) является осью симметрии параболы: точки графика, расположенные на одинаковом расстоянии от этой прямой, имеют одинаковые значения \(y\). Дискриминант \(D\) в формуле выше используют для удобного вычисления ординаты вершины.
Рассмотрим функцию \(y=x^2-4x+3\). Здесь \(a=1\), \(b=-4\), поэтому \(x_\text{в}=-\frac{-4}{2\cdot1}=2\). Тогда \(y_\text{в}=2^2-4\cdot2+3=-1\). Вершина параболы — точка \((2;-1)\), ось симметрии — прямая \(x=2\), а ветви направлены вверх, так как \(a>0\).
Ось симметрии — это вертикальная прямая \(x=x_\text{в}\), а не координатная ось \(Oy\). Они совпадут только при \(x_\text{в}=0\). Кроме того, знак \(c\) задаёт ординату точки пересечения графика с осью \(Oy\): это точка \((0;c)\), но не обязательно вершина.
Для функции \(y=-2x^2+8x-1\) куда направлены ветви и какова абсцисса вершины?
Главное
- Квадратичная функция имеет вид \(y=ax^2+bx+c\), где \(a\ne0\), а её график — парабола.
- Вершина: \(x_\text{в}=-\frac{b}{2a}\), ось симметрии: \(x=x_\text{в}\).
- При \(a>0\) ветви направлены вверх, при \(a<0\) — вниз. График квадратичной функции показывает эти свойства на координатной плоскости.