Кубическая функция
Кубическая функция — это функция, в формуле которой переменная встречается в третьей степени. Её график для базовой функции \(y=x^3\) имеет вид плавной S-образной кривой и проходит через начало координат.
Формула и основные свойства
Область определения любой кубической функции — все действительные числа: \(x\in\mathbb{R}\). Для базовой функции \(y=x^3\) область значений также состоит из всех действительных чисел. Она нечётная, потому что \((-x)^3=-x^3\), поэтому её график симметричен относительно начала координат.
- Если \(a>0\) в функции \(y=ax^3\), график возрастает слева направо и проходит из третьей четверти в первую.
- Если \(a<0\), график убывает слева направо и проходит из второй четверти в четвёртую.
- График \(y=ax^3\) проходит через точку \((0;0)\), а также через точки \((1;a)\) и \((-1;-a)\).
- Чем больше \(|a|\), тем график сильнее вытянут вдоль оси \(Oy\); чем меньше \(|a|\), тем он более пологий.
Для функции \(y=2x^3\) найдём несколько точек: при \(x=-1\) получаем \(y=-2\), при \(x=0\) — \(y=0\), при \(x=1\) — \(y=2\). Значит, график проходит через точки \((-1;-2)\), \((0;0)\) и \((1;2)\) и возрастает на всей числовой прямой.
Кубическая функция не обязана иметь вид только \(y=ax^3\). Выражение \(ax^3+bx^2+cx+d\) тоже задаёт кубическую функцию, если \(a\ne0\). Кроме того, график \(y=x^3\) не является параболой: парабола соответствует квадратичной функции \(y=ax^2+bx+c\).
Какой вид имеет график функции \(y=-x^3\)?
Главное
- Кубическая функция имеет вид \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), где \(a\ne0\).
- Для \(y=ax^3\) знак \(a\) определяет направление графика, а модуль \(|a\)| — его растяжение или сжатие.
- График базовой функции \(y=x^3\) — S-образная кривая, симметричная относительно начала координат.