Тапсырмалар № 8, 9 · ЕГЭ

Производная показательной функции

Правила дифференцирования функций \(a^x\) и \(e^x\)

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Производная показательной функции показывает скорость изменения функции \(y=a^x\). Для основания \(e\) производная особенно проста: функция \(e^x\) при дифференцировании не изменяется.

Производная показательной функцииПоказательная функция получила название потому, что переменная находится в показателе степени.

Производной функции \(y=a^x\), где \(a>0\) и \(a\ne1\), называется функция \(y'=a^x\ln a\). Для натурального основания \(e\) выполняется равенство \((e^x)'=e^x\). Понятие производной и её смысл разбираются на странице производной функции, а общая таблица находится в статье таблице производных элементарных функций.

Основные формулы

\[\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a,\qquad a>0,\ a\ne1\]

\[\frac{d}{dx}e^x=e^x\]

Здесь \(\ln a\) — натуральный логарифм основания \(a\). Если показатель сложный, например \(u(x)\), применяется правило производной сложной функции:

\[\frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x)\]

№

Пример

Найдём производную функции \(f(x)=2^{3x-1}\). Внешняя функция имеет вид \(a^{u(x)}\), где \(a=2\) и \(u(x)=3x-1\). Поэтому \(u'(x)=3\), и по правилу сложной функции получаем \(f'(x)=2^{3x-1}\ln2\cdot3=3\cdot2^{3x-1}\ln2\).

Не перепутайте

Формула \((a^x)'=a^x\) верна только для основания \(e\). Для любого другого основания появляется множитель \(\ln a\): например, \((2^x)'=2^x\ln2\), а не просто \(2^x\). Это не производная степенной функции: в \(x^n\) переменная является основанием, а в \(a^x\) — показателем.

Проверьте себя

Чему равна производная функции \(f(x)=5^x\)?

Главное за минуту

Главное

Для \(a>0\), \(a\ne1\): \((a^x)'=a^x\ln a\).
Для экспоненты: \((e^x)'=e^x\).
Если показатель равен \(u(x)\), нужно дополнительно умножить результат на \(u'(x)\).