Расстояние между параллельными прямыми
Расстояние между параллельными прямыми — это длина перпендикулярного отрезка, соединяющего эти прямые. На координатной плоскости его находят по коэффициентам уравнений прямых.
Формула
Пусть прямые заданы уравнениями \(Ax+By+C_1=0\) и \(Ax+By+C_2=0\). Коэффициенты \(A\) и \(B\) должны быть одинаковыми, а свободные члены — различными. Тогда расстояние между прямыми равно:
Если прямые записаны с разными, но пропорциональными коэффициентами при \(x\) и \(y\), сначала приведите их уравнения к одинаковым коэффициентам \(A\) и \(B\). Например, уравнения \(2x+3y-5=0\) и \(4x+6y+7=0\) нужно второе разделить на 2.
Найдём расстояние между прямыми \(3x+4y-10=0\) и \(3x+4y+5=0\). Здесь \(A=3\), \(B=4\), \(C_1=-10\), \(C_2=5\). Поэтому \(d=\frac{|5-(-10)|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3\). Перпендикулярное расстояние между прямыми равно 3.
Расстояние между параллельными прямыми не равно расстоянию между двумя произвольными выбранными точками на этих прямых. Нужно измерять именно по перпендикуляру. Это связано с понятием расстояния от точки до прямой: расстояние между прямыми можно рассматривать как расстояние от любой точки одной прямой до другой.
Чему равно расстояние между прямыми \(2x-y+3=0\) и \(2x-y-5=0\)?
Главное
- Для прямых \(Ax+By+C_1=0\) и \(Ax+By+C_2=0\) расстояние равно \(\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}\).
- Перед вычислением приведите уравнения к одинаковым коэффициентам при \(x\) и \(y\).
- Расстояние измеряется по перпендикуляру, а не по произвольному отрезку.