Диагональ параллелепипеда
Диагональ прямоугольного параллелепипеда — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. Её длину находят по теореме Пифагора дважды: сначала для диагонали основания, затем для пространственной диагонали.
Формула диагонали
В прямоугольном параллелепипеде рёбра, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны. Поэтому пространственная диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(c\) и диагональю основания \(\sqrt{a^2+b^2}\).
Здесь \(a\), \(b\), \(c\) — длины трёх измерений прямоугольного параллелепипеда, а \(d\) — его пространственная диагональ. Формула применяется, когда известны все три измерения.
Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны \(3\), \(4\) и \(12\). Тогда \(d=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{169}=13\). Диагональ равна \(13\).
Диагональ грани и пространственная диагональ — разные отрезки. Например, диагональ прямоугольной грани со сторонами \(a\) и \(b\) равна \(\sqrt{a^2+b^2}\), а диагональ всего параллелепипеда равна \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\). Диагональ многогранника также соединяет противоположные вершины, но формула зависит от конкретного многогранника.
При решении задач полезно сначала выписать три взаимно перпендикулярных измерения. Если одно из них неизвестно, его находят из дополнительных условий, а затем подставляют в формулу. Сам прямоугольный параллелепипед рассматривается в статье о параллелепипеде.
Чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями \(2\), \(3\) и \(6\)?
Главное
- Диагональ прямоугольного параллелепипеда соединяет противоположные вершины, не лежащие на одной грани.
- Основная формула: \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
- Диагональ грани вычисляется по двум измерениям, а пространственная диагональ — по трём.