Шешім тапсырма на вероятность
Решение задачи на вероятность начинается не с подстановки чисел в формулу, а с выбора модели: нужно понять, что является случайным опытом, какие исходы возможны и какое событие требуется оценить. Ниже приведён алгоритм, который помогает решать типичные экзаменационные задачи ege-5, ege-6, ege-8 и ege-15.
1. Определите случайный эксперимент и событие
Сначала внимательно прочитайте условие и ответьте на три вопроса: что происходит случайно, какие результаты считаются исходами и какое событие обозначено в вопросе. Полезно кратко записать событие буквой \(A\), например: \(A\) — «вынули белый шар», \(B\) — «попали в цель», \(C\) — «произошёл хотя бы один успех».
Событие — это утверждение о результате случайного эксперимента, которое после опыта может оказаться истинным или ложным. Вероятность события \(A\) обозначают \(P(A)\); она удовлетворяет неравенству \(0\le P(A)\le1\).
Если все исходы равновозможны и их конечное число, используют классическую модель. Например, при броске правильного кубика шесть исходов равновероятны. Если в условии даны результаты наблюдений или частоты, может понадобиться частота события либо [[relative-frequency:относительная частота]]. Для задач с таблицами полезно повторить [[probability-models:модели случайных экспериментов]], которую следует читать раньше.
2. Классическая вероятность: подсчёт исходов
Когда каждый элементарный исход одинаково возможен, вероятность события находят как отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Важно, чтобы числитель и знаменатель считались в одной и той же модели.
Здесь \(n\) — число всех равновозможных исходов, а \(m\) — число исходов, при которых событие \(A\) происходит. Если исходы удобно перечислить, составьте список или таблицу. Если выбирают несколько объектов, следите, меняется ли порядок и возвращается ли выбранный объект обратно.
Событие, состоящее в том, что \(A\) не произошло, называют противоположным и обозначают \(\overline A\). Вероятность противоположного события равна \(P(\overline A)=1-P(A)\).
Эта формула особенно удобна для слов «хотя бы один», «не менее одного», «не произошло ни разу». Часто проще найти вероятность события «ни одного», а затем вычесть её из единицы.
3. Сложение вероятностей
Событие «\(A\) немесе \(B\)» происходит, если произошло хотя бы одно из них. Если события несовместимы, они не могут произойти одновременно: при одном броске кубика события «выпало 1» и «выпало 6» несовместимы.
Если события могут произойти одновременно, пересечение нужно вычесть, иначе общий исход будет посчитан дважды.
Сигналы для сложения: «или», «одно из двух», «подходит хотя бы один вариант». Сначала выясните, могут ли события произойти вместе. Если нет — используйте простую сумму; если да — формулу с пересечением.
4. Умножение и независимые испытания
Событие «\(A\) и \(B\)» означает, что произошли оба события. Для независимых событий результат одного опыта не влияет на результат другого. Например, броски правильной монеты или кубика независимы, если условия бросков одинаковы и один бросок не изменяет другой.
При нескольких независимых испытаниях вероятности перемножаются. Если вероятность успеха в одном испытании равна \(p\), а неуспеха — \(1-p\), то вероятность ровно одного успеха в двух испытаниях можно получить сложением двух несовместимых вариантов: успех–неуспех и неуспех–успех.
Для события «хотя бы один успех» удобнее использовать противоположное событие: «ни бір успеха».
Если вероятность события \(B\) зависит от того, произошло ли \(A\), используют условную вероятность \(P(B\mid A)\). Для последовательных действий вероятность совместного события равна \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)\).
Так происходит при выборе шаров без возвращения: состав набора после первого выбора изменяется, поэтому вторую вероятность нельзя автоматически считать равной первой.
Монету бросают два раза. Какова вероятность получить хотя бы один орёл?
5. Разобранный пример: выбор шаров без возвращения
В коробке находятся 5 белых и 3 чёрных шара. Наугад вынимают два шара без возвращения. Найдём вероятность того, что оба шара белые.
Здесь выбор происходит последовательно, а возвращения нет. Поэтому события зависимы: после первого выбора число шаров изменяется.
Жауабы: \(\frac{5}{14}\). Другой способ — посчитать сочетания: благоприятно выбрать 2 белых шара из 5, а всего — 2 шара из 8. Оба подхода дают тот же результат, но в экзаменационной задаче последовательная схема часто быстрее.
6. Частоты, таблицы и проверка ответа
Если эксперимент повторяли много раз, вероятность можно оценивать относительной частотой: числом появлений события, делённым на число испытаний. Такие данные часто встречаются в таблицах. Не путайте абсолютную частоту — количество наблюдений — с относительной частотой — долей от общего числа.
При работе с таблицами сначала найдите общее число наблюдений, затем сложите частоты подходящих исходов. Для повторения терминов используйте страницы [[frequency-table:таблица частот]], [[absolute-frequency:абсолютная частота]], [[statistical-series:статистический ряд]] и [[data-analysis-tasks:анализ данных и таблиц]]. Если в условии требуется среднее или другая характеристика выборки, нужны [[statistical-average:среднее арифметическое выборки]] и [[statistics-tables-conspect:статистические таблицы и характеристики]], а не формулы вероятности.
1. Складывают вероятности событий, которые должны произойти одновременно: для «и» обычно требуется умножение. 2. Используют \(P(A)P(B)\) при зависимых событиях. 3. Забывают вычесть пересечение при несовместимых не являются событиях. 4. Для «хотя бы один» считают только один вариант и пропускают несколько. 5. В задачах без возвращения оставляют знаменатель прежним. 6. Получают число меньше 0 или больше 1 и не проверяют ответ.
1. Назовите случайный эксперимент и событие. 2. Определите все исходы и их равновозможность. 3. Решите, нужны ли сложение, умножение или противоположное событие. 4. Проверьте зависимость испытаний. 5. Сократите дробь и убедитесь, что \(0\le P\le1\).
Проверьте себя
Главное
- Вероятность выбирают после определения модели и события, а не наоборот.
- Для равновозможных исходов используют \(P(A)=\frac{m}{n}\).
- Для несовместимых событий вероятности складывают; для независимых совместных событий перемножают.
- Для зависимых последовательных выборов применяют условную вероятность и учитывают изменение состава.
- Событие «хотя бы один» часто проще считать через противоположное: \(1-P(\text{ни бір})\).