Радиус описанной окружности
Радиус описанной окружности треугольника — это расстояние от её центра до любой вершины треугольника. Если известны стороны и площадь треугольника, радиус можно найти по формуле \(R=\frac{abc}{4S}\).
Формула через стороны и площадь
Пусть \(a\), \(b\), \(c\) — стороны треугольника, а \(S\) — его площадь. Тогда радиус описанной окружности вычисляется так:
Здесь площадь \(S\) находят обычными способами: например, через основание и высоту или по формуле Герона. Поэтому перед применением формулы важно привести все длины к одним единицам измерения. Формула также следует из равенства \(a=2R\sin A\), где \(A\) — угол, противолежащий стороне \(a\).
Стороны треугольника равны \(3\), \(4\) и \(5\), а его площадь равна \(6\). Тогда \(R=\frac{3\cdot4\cdot5}{4\cdot6}=\frac{60}{24}=2{,}5\). Радиус описанной окружности равен \(2{,}5\).
Радиус описанной окружности не равен радиусу вписанной окружности. Описанная окружность проходит через вершины треугольника, а вписанная касается его сторон. Для радиуса вписанной окружности используется другая формула: \(r=\frac{S}{p}\), где \(p\) — полупериметр.
Как найти \(R\), если \(a=6\), \(b=8\), \(c=10\), а \(S=24\)?
Главное
- Радиус описанной окружности обозначают буквой \(R\); он равен расстоянию от центра окружности до любой вершины треугольника.
- По трём сторонам и площади используют формулу \(R=\frac{abc}{4S}\).
- Не смешивайте радиусы описанной и вписанной окружностей: это разные окружности и разные формулы.