Общая хорда двух окружностей
Общая хорда двух окружностей — отрезок, концы которого являются общими точками этих окружностей. Если окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\), то \(AB\) — их общая хорда, а прямая, проходящая через центры окружностей, перпендикулярна \(AB\).
Чтобы найти точки пересечения двух окружностей, сначала проверяют взаимное расположение окружностей. При двух общих точках эти точки можно обозначить \(A\) и \(B\), а отрезок \(AB\) будет общей хордой. Линия центров пересечения двух окружностей помогает определить положение этой хорды.
Основное свойство
Радиусы одной окружности, проведённые к концам хорды, равны: \(O_1A=O_1B\). Поэтому треугольник \(O_1AB\) равнобедренный, и перпендикуляр из \(O_1\) к \(AB\) проходит через середину хорды. То же верно для центра \(O_2\). Значит, одна и та же прямая \(O_1O_2\) перпендикулярна общей хорде и делит её пополам.
Две окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\), их центры — \(O_1\) и \(O_2\). Если \(M\) — точка пересечения \(O_1O_2\) и \(AB\), то достаточно доказать \(O_1A=O_1B\) и \(O_2A=O_2B\). Отсюда следует, что \(O_1M\) и \(O_2M\) — серединные перпендикуляры к \(AB\), поэтому \(O_1O_2\perp AB\) и \(AM=MB\).
Общая хорда — это отрезок \(AB\), а не вся прямая, содержащая его. Если окружности касаются, у них одна общая точка и общей хорды нет: общая касательная в точке касания перпендикулярна линии центров.
Как расположена линия центров двух пересекающихся окружностей относительно их общей хорды?
Главное
- Общая хорда соединяет две общие точки пересекающихся окружностей.
- Линия центров перпендикулярна общей хорде и делит её пополам.
- При решении полезно использовать свойства хорды и дуги окружности и равенство радиусов.