Амплитудно-фазовая форма
Амплитудно-фазовая форма — это запись выражения \(a\sin x+b\cos x\) в виде \(R\sin(x+\varphi)\) или \(R\cos(x-\psi)\). Она заменяет два слагаемых одной тригонометрической функцией с амплитудой \(R\) и сдвигом аргумента.
Формула
Используем [[auxiliary-angle-method:метод вспомогательного угла]] и формулу сложения синуса:
После раскрытия скобок получаем \(R\sin(x+\varphi)=R\cos\varphi\sin x+R\sin\varphi\cos x\). Поэтому коэффициенты выбираются из равенств \(R\cos\varphi=a\) и \(R\sin\varphi=b\), или \(\cos\varphi=\frac{a}{R}\), \(\sin\varphi=\frac{b}{R}\). Угол нужно выбирать с учётом знаков синуса и косинуса.
Преобразуем \(3\sin x+4\cos x\). Амплитуда равна \(R=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Выбираем угол \(\varphi\), для которого \(\cos\varphi=\frac35\) и \(\sin\varphi=\frac45\). Тогда \(3\sin x+4\cos x=5\sin(x+\varphi)\). Максимальное значение выражения равно \(5\), а минимальное — \(-5\).
Амплитуда — это не сумма коэффициентов и не их произведение: всегда \(R=\sqrt{a^2+b^2}\). Кроме того, фазовый сдвиг не равен самому коэффициенту: его находят по отношениям \(\sin\varphi=\frac{b}{R}\) и \(\cos\varphi=\frac{a}{R}\).
Какова амплитуда выражения \(5\sin x-12\cos x\)?
Главное
- \(a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi)\), где \(R=\sqrt{a^2+b^2}\).
- Коэффициенты определяются равенствами \(R\cos\varphi=a\) и \(R\sin\varphi=b\).
- Амплитуда задаёт наибольшее по модулю значение выражения: \(-R\le a\sin x+b\cos x\le R\).