ОДЗ алгебраической дроби
ОДЗ алгебраической дроби — это все значения переменных, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Чтобы найти ОДЗ, нужно приравнять знаменатель к нулю, решить полученное уравнение и исключить найденные значения.
Если дробь имеет вид \(\frac{A}{B}\), где \(A\) — числитель, а \(B\) — знаменатель, то её ОДЗ находят из условия \(B \ne 0\). Числитель может быть равен нулю: тогда вся дробь равна нулю, если знаменатель при этом не равен нулю. Нельзя также забывать об ограничениях, которые появляются внутри самого знаменателя, например под знаком корня или в другой дроби.
Найдём ОДЗ дроби \(\frac{x+2}{x^2-9}\). Знаменатель не должен обращаться в ноль: \(x^2-9 \ne 0\). Разложим на множители: \((x-3)(x+3) \ne 0\), поэтому \(x \ne 3\) и \(x \ne -3\). Жауабы: все действительные значения \(x\), кроме \(-3\) и \(3\).
Значение, при котором числитель равен нулю, обычно не исключают из ОДЗ. Например, для \(\frac{x}{x+1}\) значение \(x=0\) допустимо, а \(x=-1\) недопустимо, потому что нулю обращается знаменатель. После сокращения дроби исходные ограничения сохраняются: в \(\frac{x^2-1}{x-1}\) значение \(x=1\) по-прежнему запрещено, хотя после сокращения получается \(x+1\).
Какое значение нельзя подставлять в дробь \(\frac{5}{2x-6}\)?
Главное
- Для алгебраической дроби знаменатель всегда приравнивают к нулю и найденные значения исключают.
- Нули числителя сами по себе не ограничивают ОДЗ.
- Ограничения исходной дроби сохраняются даже после сокращения выражения.