Задания № 15, 23 · ЕГЭ

Закон ассоциативности

Расстановка скобок при повторении одной и той же логической операции

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Закон ассоциативности утверждает: если в логическом выражении подряд выполняются одинаковые операции, изменение расстановки скобок не меняет результат. Поэтому такие скобки можно переставлять или опускать, сохраняя порядок самих переменных.

Свойство логических операций, при котором результат не зависит от расстановки скобок, если применяется одна и та же операция: дизъюнкция (ИЛИ), конъюнкция (И) или сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ). Закон входит в состав законов логики.

Формулы

\[(A \lor B) \lor C = A \lor (B \lor C)\]

\[(A \land B) \land C = A \land (B \land C)\]

\[(A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C)\]

Здесь \(\lor\) обозначает операцию ИЛИ, \(\land\) — И, а \(\oplus\) — исключающее ИЛИ. Например, выражение \((A \lor B) \lor C\) можно записать короче: \(A \lor B \lor C\). Это не означает, что порядок переменных можно менять: за это отвечает закон коммутативности.

№

Пример

Пусть \(A=0\), \(B=1\), \(C=0\). Тогда \((A \lor B) \lor C=(0 \lor 1) \lor 0=1\), а \(A \lor (B \lor C)=0 \lor (1 \lor 0)=1\). Результат одинаков в обоих случаях.

Не путайте

Ассоциативность разрешает менять только расстановку скобок у одинаковой операции. Нельзя по этому закону превратить \(A \lor (B \land C)\) в \((A \lor B) \land C\): это разные операции, и здесь применяют закон дистрибутивности или другие правила преобразования.

Проверьте себя

Какое выражение равно \((A \land B) \land C\) по закону ассоциативности?

Главное за минуту

Главное

Закон ассоциативности позволяет менять расстановку скобок у одинаковых операций.
Он выполняется для И, ИЛИ и исключающего ИЛИ.
Закон не разрешает менять порядок переменных или смешивать разные операции.