Задание № 1 · ЕГЭ

Веса факториальных разрядов

Как факториалы задают веса разрядов в смешанной системе счисления

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

В факториальной системе счисления вес разряда определяется факториалом: для разряда с номером \(i\) он равен \(i!\). Поэтому число записывают как сумму цифр, умноженных на соответствующие факториалы, а основания соседних разрядов последовательно меняются.

Вес факториального разряда

Весом факториального разряда называют число \(i!\), умножаемое на цифру этого разряда. Нумерация начинается справа с нуля: веса разрядов равны \(0!=1\), \(1!=1\), \(2!=2\), \(3!=6\), \(4!=24\) и так далее. Цифра разряда с номером \(i\) может принимать значения от \(0\) до \(i\) включительно.

Формула веса и значения числа

Если запись имеет цифры \(a_n a_{n-1}\ldots a_1a_0\), то её значение находят как сумму произведений цифр на веса. Разряд \(a_0\) обычно равен нулю, поскольку допустимый диапазон для него содержит только число \(0\).

\[N=a_n\cdot n!+a_{n-1}\cdot (n-1)!+\ldots+a_2\cdot 2!+a_1\cdot 1!+a_0\cdot 0!,\qquad 0\le a_i\le i\]

№

Пример

Рассмотрим запись \(24310\). Справа налево её цифры имеют номера \(0,1,2,3,4\), поэтому значение равно \(2\cdot4!+4\cdot3!+3\cdot2!+1\cdot1!+0\cdot0!=48+24+6+1+0=79\). Все цифры допустимы: для разряда 4 цифра 2 не превышает 4, для разряда 3 цифра 4 недопустима в обычной записи — значит, здесь запись нужно читать как \(a_4a_3a_2a_1a_0=2,4,3,1,0\), и ошибка обнаруживается сразу: \(a_3=4>3\). Корректный пример — \(23410\): \(2\cdot4!+3\cdot3!+4\cdot2!+1\cdot1!=48+18+8+1=75\).

Не путайте

Факториальные веса не являются степенями одного постоянного основания. В обычной позиционной системе веса идут как \(1,q,q^2,\ldots\), а здесь — как \(0!,1!,2!,3!,\ldots\). Поэтому это смешанная система. Полное устройство факториальной системы счисления связано с понятием веса разряда.

Проверьте себя

Каков вес разряда с номером 5 в факториальной системе?

Главное за минуту

Главное

Вес разряда с номером \(i\) равен \(i!\).
Значение записи находят суммой \(a_i\cdot i\), где точнее: \(a_i\cdot i!\); цифра разряда не превосходит его номера.
Факториальные веса образуют смешанную систему, а не систему с одним постоянным основанием.