Тапсырма № 1 · ЕГЭ

Факториальная система счисления

Смешанная система счисления с факториальными весами разрядов

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

Факториальная система счисления — это смешанная система, в которой вес каждого разряда равен факториалу его номера. В отличие от обычной позиционной системы, основания соседних разрядов здесь различаются.

Факториальная система счисленияНазвание связано со словом «факториал»: вес разряда определяется произведением натуральных чисел от 1 до его номера.

Система счисления, где число представляется суммой произведений цифр на факториалы натуральных чисел: \(a_n n!+a_{n-1}(n-1)!+\dots+a_2 2!+a_1 1!\). Для канонической жазбалар цифра при \(i!\) принимает значения от \(0\) до \(i\). Поэтому при переходе от разряда \(i!\) к следующему разряду используется основание \(i+1\).

Факториальная система является частным случаем смешанной системы счисления. Её разряды обычно перечисляют справа налево как \(0!,1!,2!,3!,\dots\). Так как \(0!=1!=1\), в канонической жазбалар разряд \(0!\) не используют отдельно: младшая цифра равна нулю, а единичный разряд имеет вес \(1!\).

\[N=\sum_{i=1}^{n} a_i\cdot i!,\qquad 0\le a_i\le i\]

№

Пример жазбалар

Запись \(2100_{\text{факт}}\) означает \(2\cdot3!+1\cdot2!+0\cdot1!=2\cdot6+1\cdot2=14\). Цифры допустимы: в разряде \(3!\) стоит цифра не больше 3, в разряде \(2!\) — не больше 2, в разряде \(1!\) — не больше 1.

Не путайте с обычной системой

В десятичной системе каждый разряд имеет вес, в 10 раз больший предыдущего. В факториальной системе веса равны \(1!,2!,3!,\dots\), а допустимые цифры зависят от разряда. Поэтому одинаковые цифры в разных разрядах имеют разный вес.

Проверьте себя

Каково значение жазбалар \(1010_{\text{факт}}\)?

Главное за минуту

Главное

Веса разрядов факториальной системы — \(1!,2!,3!,\dots\).
Цифра при весе \(i!\) может быть только от 0 до \(i\).
Число вычисляют как сумму произведений цифр на соответствующие факториалы; правила перевода разобраны в переводе в факториальную систему.