Алфавит факториальной системы счисления
Алфавит факториальной системы счисления — это набор допустимых цифр, который зависит от номера разряда: в разряде с весом \(k!\) можно записывать цифры от \(0\) до \(k\). Поэтому факториальная система является позиционной смешанной системой счисления, а не обычной системой с одним основанием.
Здесь \(a_k\) — цифра разряда с весом \(k!\). Ограничение определяется именно номером разряда, а не значением факториала. Например, в разряде \(4!\) нельзя использовать цифру \(5\), хотя сам вес равен \(24\). В разряде \(0!\) цифра всегда равна нулю, поэтому последние два разряда могут иметь одинаковый вес: \(1!=0!=1\).
В записи \(a_4a_3a_2a_1a_0\) разряды имеют веса \(4!,3!,2!,1!,0!\). Их алфавиты соответственно таковы: \(a_4\in\{0,1,2,3,4\}\), \(a_3\in\{0,1,2,3\}\), \(a_2\in\{0,1,2\}\), \(a_1\in\{0,1\}\), \(a_0=0\). Поэтому запись \(31420\) допустима, а \(32510\) — нет: цифра \(5\) стоит в разряде \(3!\), где максимум равен \(3\).
В десятичной системе цифры от \(0\) до \(9\) разрешены в каждом разряде. В факториальной системе граница меняется от разряда к разряду. Кроме того, запись не обязана содержать цифры \(0,1,\ldots,k\) все сразу: важно только, чтобы каждая цифра не превышала допустимый максимум.
Какая из записей допустима в факториальной системе, если разряды слева направо имеют веса \(4!,3!,2!,1!,0!\)?
Главное
- В разряде с весом \(k!\) разрешены цифры от \(0\) до \(k\).
- Алфавит факториальной системы зависит от номера разряда, поэтому это смешанная система.
- Проверяйте каждую цифру отдельно; особенно учитывайте, что \(a_0=0\).