Тапсырма № 1 · ЕГЭ

Перевод из факториальной системы

Как вычислить число по цифрам и весам факториальных разрядов

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

Перевод из факториальной системы — это вычисление значения числа по его цифрам и весам разрядов. Каждая цифра умножается на соответствующий факториальный вес, после чего полученные произведения складываются.

Перевод из факториальной системы счисления в десятичную — это нахождение значения факториальной записи числа через сумму произведений цифр на веса их разрядов. В записи \(a_na_{n-1}\ldots a_2a_1a_0\) цифра \(a_i\) умножается на вес \(i!\).

Правило вычисления

Сначала определяют вес каждого разряда. Справа налево веса равны \(0!, 1!, 2!, 3!\) и так далее: \(1, 1, 2, 6, 24, \ldots\). Подробнее о выборе весов см. в статье веса факториальных разрядов. Затем каждую цифру умножают на её вес и складывают результаты.

\[a_na_{n-1}\ldots a_2a_1a_0=\sum_{i=0}^{n}a_i\cdot i!=a_n\cdot n!+a_{n-1}\cdot (n-1)!+\ldots+a_1\cdot 1!+a_0\cdot 0!\]

При этом цифра разряда с весом \(i!\) не должна превышать \(i\): \(0\le a_i\le i\). Поэтому крайняя правая цифра всегда равна нулю, а цифра в следующем разряде может быть только 0 или 1. Эти ограничения являются частью записи факториальной системы счисления.

№

Пример

Переведём жазба \(2310_{!}\) в десятичное число. Умножаем цифры на веса справа налево: \(2\cdot 3!+3\cdot 2!+1\cdot 1!+0\cdot 0!=2\cdot6+3\cdot2+1\cdot1+0\cdot1=19\). Значит, \(2310_{!}=19_{10}\).

Не путайте с обычной позиционной системой

В десятичной системе веса разрядов являются степенями бір основания: \(10^0,10^1,10^2,\ldots\). В факториальной системе веса изменяются как факториалы: \(0!,1!,2!,3!,\ldots\). Нельзя вычислять значение жазбалар, умножая цифры на степени основания.

Проверьте себя

Чему равно значение жазбалар \(120_{!}\) в десятичной системе?

Главное за минуту

Главное

Разряды факториальной жазбалар имеют веса \(0!,1!,2!,\ldots\) справа налево.
Значение числа находят суммой произведений цифр на соответствующие факториальные веса.
Для разряда с весом \(i!\) допустимы цифры от 0 до \(i\).