Подсчёт элементов по диаграмме Венна
Диаграмма Венна помогает представить множества как области и по условию задачи восстановить число элементов в каждой из них. В этой теме разберём алгоритмы подсчёта элементов по диаграмме, включая объединение, пересечение, дополнение и области, принадлежащие только одному множеству.
1. Что показывает диаграмма
На диаграмме Венна универсальное множество обычно изображают прямоугольником, а множества — кругами или другими замкнутыми линиями. Каждый элемент попадает ровно в ту область, которая соответствует его свойствам. Если элемент принадлежит множествам \(A\) и \(B\), он располагается в их общей части.
Область — часть диаграммы, в которой элементы имеют одинаковый набор признаков. Для двух множеств \(A\) и \(B\) выделяют четыре области: только \(A\), только \(B\), \(A \cap B\) и элементы, не принадлежащие ни \(A\), ни \(B\).
Перед подсчётом полезно выписать обозначения. \(|A|\) — количество элементов множества \(A\), \(|B|\) — количество элементов множества \(B\), \(|A \cap B|\) — количество элементов в пересечении. Знак \(\cup\) обозначает объединение: в него входят элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств.
2. Базовые формулы подсчёта
При сложении \(|A|+|B|\) общие элементы считаются дважды, поэтому пересечение нужно вычесть один раз.
Из этой формулы можно выразить любую неизвестную величину:
Здесь \(A \setminus B\) — элементы, которые входят в \(A\), но не входят в \(B\). В задачах также встречается дополнение множества: элементы универсального множества \(U\), не принадлежащие \(A\).
В математических задачах «\(A\) или \(B\)» обычно означает хотя бы одно из двух, поэтому используется объединение \(A \cup B\). Элементы, входящие сразу в оба множества, тоже считаются.
3. Универсальный алгоритм решения
Такие задания входят в решение задач с диаграммами. Надёжнее всего не пытаться сразу подставлять числа в формулу, а разделить диаграмму на непересекающиеся области.
- Определите универсальное множество и общее количество элементов, если оно дано.
- Запишите, что означает каждая величина: всего в \(A\), всего в \(B\), только в \(A\), в обоих множествах или вне них.
- Сначала найдите центральную область \(A \cap B\), если она неизвестна.
- Найдите области «только \(A\)» и «только \(B\)» вычитанием пересечения из соответствующего множества.
- Сложите нужные непересекающиеся области и проверьте, что результат не превышает общего количества элементов.
Области «только \(A\)», «только \(B\)», «оба» и «вне обоих» не пересекаются. Поэтому их можно складывать без дополнительных поправок. Ошибки чаще всего появляются, когда складывают размеры множеств \(A\) и \(B\), забывая про двойной подсчёт пересечения.
В классе 20 учеников изучают английский, 15 — немецкий, а 8 изучают оба языка. Сколько учеников изучают хотя бы один из этих языков?
4. Разобранный пример
В классе 30 учеников. 18 из них посещают кружок информатики, 14 — кружок математики, 9 посещают оба кружка. Найдём: а) только информатику; б) только математику; в) хотя бы один кружок; г) ни одного кружка.
Обозначим \(I\) — множество учеников на информатике, \(M\) — множество учеников на математике. Дано: \(|I|=18\), \(|M|=14\), \(|I\cap M|=9\), \(|U|=30\).
Ответ: только информатику посещают 9 учеников, только математику — 5, хотя бы один кружок — 23, ни одного — 7. Проверка: \(9+9+5+7=30\), то есть все ученики распределены по четырём областям без пропусков и повторов.
5. Три множества и проверка результата
Для трёх множеств диаграмма содержит больше областей: семь внутренних областей и область вне всех множеств. Если известны размеры трёх множеств и их попарных пересечений, нельзя просто сложить и вычесть все данные: центральная область при таком подсчёте учитывается несколько раз.
Для трёх множеств сначала складывают размеры множеств, затем вычитают размеры попарных пересечений и добавляют тройное пересечение.
Если задача сложная, замените формулу таблицей областей. Сначала впишите центральное пересечение \(A\cap B\cap C\), затем найдите части попарных пересечений без третьего множества, после этого — области только одного множества. Такой порядок исключает повторный подсчёт.
| Фраза условия | Обозначение | Что считать |
|---|---|---|
| входят в A и B | \(A\cap B\) | общую часть кругов |
| входят хотя бы в A или B | \(A\cup B\) | все области двух кругов |
| входят только в A | \(A\setminus B\) | A без пересечения |
| не входят в A | \(\overline{A}\) | всё вне A |
| входят ровно в одно из A и B | \(A\triangle B\) | только A плюс только B |
1. Сложить \(|A|\) и \(|B|\), не вычтя пересечение. 2. Принять «или» за «только одно». 3. Вычесть пересечение из общего количества вместо размеров множеств. 4. Перепутать «не входят в оба» с «не входят ни в одно»: первое может означать дополнение объединения, а второе требует точного чтения условия. 5. Не сделать проверку суммы всех непересекающихся областей.
6. Как читать формулировки экзаменационной задачи
Сначала переведите текст в операции множеств. Для этого полезна страница перевод условий в операции множеств. Слова «оба», «одновременно» обычно указывают на пересечение множеств, «хотя бы один» — на объединение, «только» — на разность. Если нужно определить принадлежность одного объекта, используйте указание принадлежности множеству.
Для быстрой записи можно построить таблицу: в строках — области диаграммы, в столбцах — условия задачи. После заполнения известных областей неизвестные находятся обычным вычитанием. В логических выражениях те же операции можно записывать булевыми значениями; связь с ними разобрана на странице булев тип.
Принадлежность элемента множеству можно представить условием: \(A(x)=1\), если \(x\in A\), и \(A(x)=0\) иначе. Тогда пересечение соответствует логическому «И», объединение — «ИЛИ», а дополнение — отрицанию.
Проверь себя
Главное
- Диаграмму нужно разделять на непересекающиеся области: только \(A\), только \(B\), пересечение и внешнюю область.
- Для двух множеств используйте \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\).
- Область «только \(A\)» находится как \(|A|-|A\cap B|\).
- Для дополнения вычитайте размер множества из размера универсального множества.
- В задачах с тремя множествами применяйте включения и исключения или заполняйте области по очереди.
- Всегда проверяйте: сумма всех непересекающихся областей должна давать общее количество элементов.