Задания № 1, 14 · ЕГЭ

Остаток при переводе основания

Как последняя цифра показывает остаток при делении на основание системы

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Остаток при переводе основания — это связь между последней цифрой записи числа в системе счисления и остатком этого числа при делении на основание системы. Иными словами, последняя цифра числа в системе с основанием $b$ равна остатку от деления числа на $b$.

Если число $N$ записано в системе счисления с основанием $b$, то его последняя цифра равна остатку $N$ при делении на $b$. Последняя цифра является значением младшего разряда и обозначается $a_0$.

\[N \bmod b = a_0\]

Действительно, запись числа в системе счисления с основанием $b$ имеет вид $N=a_kb^k+\dots+a_1b+a_0$. Все слагаемые, кроме $a_0$, делятся на $b$, поэтому при делении $N$ на $b$ остаётся только $a_0$. Этот остаток всегда находится в диапазоне от $0$ до $b-1$.

№

Пример

Число $347_{10}$ в десятичной системе оканчивается цифрой $7$, поэтому $347\bmod 10=7$. Для числа $101101_2$ последняя цифра равна $1$, значит, при делении его значения на $2$ остаток равен $1$. Это сразу даёт признак чётности в системе с основанием $2$.

Не путайте

Последняя цифра даёт остаток только при делении на основание данной системы, а не на любое число. Например, последняя цифра записи $247_8$ равна $7$, поэтому остаток при делении значения числа на $8$ равен $7$. Но по одной последней цифре нельзя определить остаток при делении на $3$ или $5. Для общего случая используйте понятие остатка по модулю.

Проверьте себя

Каков остаток от деления числа $11010_2$ на $2$?

Главное за минуту

Главное

В системе с основанием $b$ последняя цифра числа равна остатку от деления его значения на $b$.
Формула: $N\bmod b=a_0$, где $a_0$ — последняя цифра записи.
Это правило работает для деления именно на основание системы, а не на произвольный делитель.

Каков остаток от деления числа \(11010_2\) на \(2\)?

Главное