Тапсырма № 10 · ОГЭ

Периодичность в двоичной системе

Почему двоичная дробь повторяется и как это определить по знаменателю

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

Периодичность в двоичной системе — это повторение одного и того же блока цифр после двоичной запятой. Она определяется разложением знаменателя обычной дроби после сокращения: если в знаменателе есть нечётный множитель, двоичная запись становится бесконечной периодической.

Свойство двоичной дроби иметь бесконечную запись, в которой после некоторого места повторяется конечный блок двоичных цифр. Для несократимой дроби \(\frac{a}{b}\) жазба конечна тогда и только тогда, когда \(b=2^k\). Если в \(b\) есть нечётный множитель, жазба бесконечна и периодична; при нечётном \(b\) повторение начинается сразу после запятой.

Дробная часть числа записывается по дробным разрядам. При последовательном переводе в двоичную систему дробь умножают на \(2\) и каждый раз записывают целую часть результата. Остатки могут принимать лишь конечное число значений. Если остаток стал равен нулю, запись закончилась; если некоторый ненулевой остаток повторился, с этого места повторяются и цифры.

Как определить период по знаменателю

\[b=2^k\cdot q,\qquad q\text{ — нечётная часть знаменателя}\]

Множитель \(2^k\) отвечает за начальный неповторяющийся участок, а нечётная часть \(q\) — за период. Если \(q=1\), дробь конечная. Если \(q>1\), дробь периодическая. Длина периода равна наименьшему натуральному \(t\), для которого выполняется \(2^t\equiv1\pmod q\).

№

Пример

Рассмотрим \(\frac{5}{12}\). Знаменатель раскладывается так: \(12=2^2\cdot3\). Нечётная часть равна \(3\), поэтому жазба бесконечная периодическая: \(\frac{5}{12}=0,01(01)_2\). Две цифры в скобках образуют период.

Не путайте

Наличие цифр после запятой ещё не означает периодичность. Например, \(\frac{3}{8}=0,011_2\) — жазба конечная, потому что \(8=2^3\). Период появляется только тогда, когда после сокращения в знаменателе остаётся нечётный множитель, отличный от \(1\).

Проверь себя

Какой будет двоичная жазба дроби \(\frac{7}{20}\)?

Главное за минуту

Главное

Для несократимой дроби запись в двоичной системе конечна тогда и только тогда, когда знаменатель является степенью двойки.
Нечётная часть знаменателя определяет наличие и длину периода; множитель \(2^k\) может создавать начальный неповторяющийся участок.
Повторившийся ненулевой остаток означает начало повторяющегося блока цифр.