ЕГЭОГЭ
Задание № 1 · ЕГЭ

Факториальная запись числа

Как переводить число в факториальную систему последовательным делением на возрастающие основания
5 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Факториальная запись представляет число как сумму цифр, умноженных на факториалы разных порядков. Основной способ перевода — последовательное деление исходного числа на основания \(2,3,4,5,\ldots\): остатки делений становятся цифрами записи, начиная с младшей.

Что такое факториальная запись

В позиционной системе счисления веса разрядов являются степенями одного основания: \(1,q,q^2,\ldots\). В факториальной системе веса разрядов устроены иначе: \(1!,2!,3!,\ldots\). Поэтому её относят к смешанным системам счисления.

D
Определение

Факториальная запись неотрицательного целого числа \(N\) — это представление вида \(N=a_0\cdot1!+a_1\cdot2!+a_2\cdot3!+\ldots+a_k\cdot(k+1)!\), где для каждой цифры выполняется ограничение \(0\le a_i\le i+1\). Цифра \(a_0\) принимает значения только \(0\) или \(1\), цифра \(a_1\) — от \(0\) до \(2\), цифра \(a_2\) — от \(0\) до \(3\) и так далее.

\[N=a_0\cdot1!+a_1\cdot2!+a_2\cdot3!+\ldots+a_k\cdot(k+1)!\]1

Обычно запись располагают от старшего разряда к младшему: \(a_k a_{k-1}\ldots a_2a_1a_0\). Последняя цифра соответствует весу \(1!\), предпоследняя — весу \(2!\), затем идут \(3!\), \(4!\) и так далее. Начальный множитель \(0!=1\) отдельно не используют: он совпадает по значению с \(1!\).

T
Правило ограничений на цифры

В разряде с весом \((i+1)!\) цифра не превосходит \(i+1\): \(0\le a_i\le i+1\). Это связано с тем, что перед переходом к следующему разряду используется деление на следующее основание. Подробное объяснение ограничений приведено на странице ограничения на цифры.

Алгоритм перевода из десятичной системы

Перевод выполняют справа налево, поэтому сначала получают младшую цифру. Первый раз делят на \(2\), второй — на \(3\), затем на \(4\) и так далее. Каждый остаток записывают, а частное используют для следующего деления.

  1. Положить текущее число равным \(N\).
  2. Разделить его на \(2\). Остаток — цифра \(a_0\).
  3. Полученное частное разделить на \(3\). Остаток — цифра \(a_1\).
  4. Продолжать деление на последовательные основания \(4,5,6,\ldots\).
  5. Остановиться, когда очередное частное станет нулём.
  6. Прочитать найденные остатки в обратном порядке.
\[q_i=\left\lfloor\frac{q_{i-1}}{i+2}\right\rfloor,\qquad a_i=q_{i-1}\bmod(i+2),\qquad q_{-1}=N\]2

В формуле \(q_{i-1}\) — число перед очередным делением, \(q_i\) — частное, а \(a_i\) — остаток. Номер основания начинается с \(2\), поэтому при получении \(a_i\) используется делитель \(i+2\).

Как не перепутать порядок

Остатки появляются от младшей цифры к старшей. В таблице их удобно записывать сверху вниз, но итоговую факториальную запись нужно читать снизу вверх.

Микропроверка

На какое основание делят число, чтобы получить цифру при весе \(3!\)?

Разобранный пример

Переведём десятичное число \(463\) в факториальную запись. Последовательно делим на возрастающие основания и каждый раз сохраняем остаток.

1
Первое деление даёт младшую цифру при весе \(1!\).
\(\displaystyle 463=2\cdot231+1\quad\Rightarrow\quad a_0=1\)
2
Частное \(231\) делим на следующее основание \(3\).
\(\displaystyle 231=3\cdot77+0\quad\Rightarrow\quad a_1=0\)
3
Частное \(77\) делим на \(4\); остаток будет цифрой при весе \(3!\).
\(\displaystyle 77=4\cdot19+1\quad\Rightarrow\quad a_2=1\)
4
Частное \(19\) делим на \(5\).
\(\displaystyle 19=5\cdot3+4\quad\Rightarrow\quad a_3=4\)
5
Частное \(3\) делим на \(6\). После этого частное становится нулём.
\(\displaystyle 3=6\cdot0+3\quad\Rightarrow\quad a_4=3\)
№
Ответ примера

Остатки были получены в порядке \(1,0,1,4,3\). Читаем их справа налево: \(463_{10}=34101_{!}\). Индекс в обозначении подчёркивает, что это факториальная запись, а не обычное число в неизвестном основании.

\[463=3\cdot5!+4\cdot4!+1\cdot3!+0\cdot2!+1\cdot1!=360+96+6+0+1=463\]3

Проверка показывает, что все цифры допустимы: \(3\le5\), \(4\le4\), \(1\le3\), \(0\le2\), \(1\le1\). Восстановление исходного числа — надёжный способ проверить результат.

Обратный перевод и проверка

Чтобы перевести факториальную запись в десятичную систему, умножают каждую цифру на соответствующий факториал и складывают результаты. Для записи \(a_ka_{k-1}\ldots a_0\) старшая цифра умножается на \((k+1)!\), а последняя — на \(1!\).

\[a_ka_{k-1}\ldots a_0\;\to\;\sum_{i=0}^{k}a_i(i+1)!\]4
  • Проверить, что основания делений идут как \(2,3,4,\ldots\).
  • Убедиться, что каждый остаток меньше делителя.
  • Развернуть порядок остатков перед записью ответа.
  • При необходимости восстановить число по факториалам.
!
Частые ошибки

1) Записывают остатки в том же порядке, в каком получили, и получают перевёрнутую запись. 2) Делят каждый раз на одно и то же число — это уже алгоритм обычной позиционной системы. 3) Останавливаются слишком рано: нужно продолжать, пока частное не станет нулём. 4) При проверке принимают запись \(34101\) за десятичное число, хотя её значение вычисляется через факториальные веса. 5) Забывают, что цифра при \(1!\) может быть только \(0\) или \(1\).

Связь с другими способами записи

Факториальная запись является частным случаем факториальной системы счисления. В задачах на системы с различными основаниями полезно сначала повторить смешанную систему счисления, потому что последовательные деления работают по тому же принципу: остаток определяет цифру текущего разряда, а частное переносится дальше.

Не следует смешивать этот алгоритм с канонической записью числа или неполной записью числа. В факториальной записи основания заранее известны и последовательно увеличиваются на единицу. Если требуется подобрать основания по условию, применяется другой приём — подбор оснований.

Q
Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · алгоритм
Какое первое действие выполняют при переводе числа в факториальную запись?
Главное за минуту

Главное

  • Факториальная запись использует веса \(1!,2!,3!,\ldots\).
  • Для перевода числа последовательно делят на \(2,3,4,\ldots\).
  • Остатки являются цифрами от младшей к старшей, поэтому ответ читают в обратном порядке.
  • Цифра при весе \((i+1)!\) не превосходит \(i+1\).
  • Результат проверяют обратным вычислением суммы цифр, умноженных на соответствующие факториалы.