Определение расстояния по масштабу
Чтобы определить расстояние между объектами на местности, сначала измеряют расстояние между ними на карте, а затем переводят его с учётом масштаба. Главное — правильно выбрать единицы измерения и не перепутать расстояние на карте с расстоянием на местности.
Что нужно знать перед вычислением
Масштаб карты показывает, во сколько раз расстояния на карте уменьшены по сравнению с соответствующими расстояниями на местности. Например, масштаб \(1:100\,000\) означает, что 1 см на карте соответствует 100 000 см на местности, то есть 1 км.
Расстояние на карте обозначают \(d\), а расстояние на местности — \(D\). Перед решением нужно измерить отрезок линейкой или воспользоваться измерением расстояний по карте. Если объекты соединены прямой линией, измеряют прямой отрезок. Если нужно найти длину дороги, реки или маршрута с поворотами, измеряют весь извилистый путь по частям.
Численный масштаб записывают в виде отношения \(1:M\), где \(M\) — число, показывающее, во сколько раз расстояние на карте меньше расстояния на местности. При масштабе \(1:200\,000\) один сантиметр на карте соответствует 200 000 сантиметрам на местности.
Именованный масштаб словами показывает соответствие между расстоянием на карте и расстоянием на местности: например, «в 1 см — 2 км». Чтобы уверенно читать такой масштаб, полезно повторить тему именованного масштаба.
Линейный масштаб — это шкала на карте, по которой расстояние можно определить непосредственно сравнением с отрезком. Он особенно удобен, если карта была увеличена или уменьшена: численная запись при этом может стать неточной, а линейная шкала изменяется вместе с картой.
Перевод расстояния через численный масштаб
Если масштаб записан как \(1:M\), то измеренное расстояние \(d\) нужно умножить на знаменатель масштаба \(M\). Получится расстояние на местности в тех же единицах, в которых измеряли \(d\).
После умножения результат переводят в более удобные единицы. Напомним основные соотношения: \(1\text{ м}=100\text{ см}\), \(1\text{ км}=1000\text{ м}=100\,000\text{ см}\). Поэтому для перевода сантиметров в километры число сантиметров делят на 100 000.
При масштабе \(1:M\) расстояние на местности находят умножением расстояния на карте на \(M\). Единицы результата сначала совпадают с единицами измерения на карте, затем результат переводят в метры или километры.
| Масштаб | 1 см на карте соответствует | Удобная запись |
|---|---|---|
| 1:10 000 | 10 000 см = 100 м | 1 см — 100 м |
| 1:100 000 | 100 000 см = 1 км | 1 см — 1 км |
| 1:200 000 | 200 000 см = 2 км | 1 см — 2 км |
| 1:1 000 000 | 1 000 000 см = 10 км | 1 см — 10 км |
На карте масштаба 1:500 000 расстояние между городами равно 4 см. Чему оно соответствует на местности?
Разобранный пример
Расстояние между двумя населёнными пунктами на карте масштаба \(1:250\,000\) равно 6,4 см. Определите расстояние между ними на местности в километрах.
Ответ: расстояние между населёнными пунктами равно 16 км. В экзаменационной записи важно указать единицу измерения и, если требуется, округлить результат до нужного количества знаков.
Как работать с линейным масштабом и маршрутом
При использовании линейного масштаба измеренный отрезок сравнивают со шкалой. Если отрезок совпадает с двумя делениями шкалы, расстояние считывают напрямую. Если он короче одного деления, используют промежуточные деления или оценивают его часть.
Для кривой линии используют полоску бумаги, нитку или циркуль-измеритель. Сначала последовательно откладывают небольшие прямые участки вдоль дороги, реки или границы, затем переносят общую длину на линейный масштаб. На карте с крупным масштабом мелкие изгибы видны лучше, поэтому длина маршрута обычно получается точнее.
- Измерьте прямой или извилистый участок на карте.
- Выберите способ перевода: численная формула или линейная шкала.
- Приведите единицы к одному виду.
- Выполните вычисление.
- Запишите ответ с единицей измерения и проверьте его реалистичность.
Если маршрут состоит из нескольких отрезков, сначала находят их общую длину: \(d=d_1+d_2+\ldots+d_n\), а затем переводят её по масштабу. Эквивалентно можно перевести каждый участок отдельно и сложить результаты.
Если на карте указана длина маршрута в миллиметрах, переводить её в сантиметры необязательно: можно сразу использовать те же единицы в формуле, но результат затем нужно правильно пересчитать. Например, при масштабе \(1:100\,000\) 1 мм на карте соответствует 100 м на местности.
Проверка результата и типичные ошибки
Оцените порядок величины ответа. На карте масштаба \(1:1\,000\,000\) один сантиметр — это 10 км, поэтому отрезок длиной около 5 см не может соответствовать 500 м или 5000 км: правильный порядок — около 50 км.
1. Забывают перевести сантиметры в километры. Число 1 600 000 см — ещё не 1 600 000 км, а 16 км. 2. Делят на знаменатель вместо умножения. При масштабе \(1:M\) расстояние на местности больше расстояния на карте в \(M\) раз. 3. Путают 1:100 000 и 1:10 000. У этих масштабов разница в десять раз. 4. Измеряют не весь маршрут. Для дороги с поворотами нужно учитывать каждый участок. 5. Игнорируют единицы. Нельзя складывать сантиметры и километры без предварительного перевода.
Сначала переведите масштаб в именованный вид. Например, \(1:300\,000\) — это 3 км в 1 см. Тогда отрезок 7,5 см можно быстро посчитать как \(7{,}5\cdot3=22{,}5\) км.
При решении заданий, связанных с направлением, высотой или описанием маршрута, расстояние определяют отдельно, не смешивая его с направлениями на карте или отметками высоты. Если карта имеет искажения из-за картографической проекции, в школьных заданиях обычно используют указанное на карте расстояние и её масштаб.
Проверка знаний
Quick-test
Главное
- Масштаб \(1:M\) означает, что расстояние на местности в \(M\) раз больше расстояния на карте.
- Основная формула: \(D=d\cdot M\).
- После вычисления обязательно переводи результат в удобные единицы: \(100\,000\) см = 1 км.
- Для извилистого маршрута измеряй и складывай все участки, а не только прямое расстояние между концами.
- Проверяй порядок величины ответа и не путай численный, именованный и линейный масштабы.