Решение: Площадь прямоугольника равна 16. Какие значения сторон обеспечат минимальный периметр
Площадь прямоугольника равна 16. Какие значения сторон обеспечат минимальный периметр прямоугольника?
Решение по шагам
4 шагаПусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$. Тогда площадь: $xy = 16$, периметр: $P = 2(x + y)$. Для минимизации $P$ при фиксированной площади нужно минимизировать $x + y$.
Из условия $xy = 16$ получаем $y = \frac{16}{x}$. Тогда $x + y = x + \frac{16}{x}$. Найдём минимум функции $f(x) = x + \frac{16}{x}$ для $x > 0$.
Производная: $f'(x) = 1 - \frac{16}{x^2}$. Приравниваем к нулю: $1 - \frac{16}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$ (так как $x > 0$). Тогда $y = \frac{16}{4} = 4$.
Второй производной $f''(x) = \frac{32}{x^3} > 0$ при $x > 0$, значит, точка $x=4$ — минимум. Следовательно, минимальный периметр достигается при квадрате со сторонами $4 \times 4$.
Где здесь ошибаются
Выбор варианта с наименьшей разностью сторон без учёта формулы периметра (например, 2×8 или 2,5×6,4).
Предположение, что минимальный периметр при самых «вытянутых» сторонах, тогда как наоборот — минимален при квадрате.
Ошибка в вычислении периметра: забыли удвоить сумму сторон или использовали площадь вместо периметра.