Шешімі: Calculate the value of the expression (-x₀ + 2y₀) with x₀ > y₀, where (x₀; y₀)
Calculate the value of the expression $(-x_0 + 2y_0)$ with $x_0 > y_0$, where $(x_0; y_0)$ is the solution of the system of equations: $\begin{cases} \log_2 x - \log_4 y = 1 \frac{1}{2} \\ 2x - y = 6 \end{cases}$
Шешімін қадамдап көрсету
6 қадамПерепишем первое уравнение, используя свойства логарифмов. Поскольку $\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} = \frac{\log_2 y}{2}$, то $\log_2 x - \frac{1}{2}\log_2 y = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Умножим обе части на 2: $2\log_2 x - \log_2 y = 3$.
Применим свойства логарифмов: $\log_2 x^2 - \log_2 y = \log_2\left(\frac{x^2}{y}\right) = 3$ — откуда $\frac{x^2}{y} = 2^3 = 8$, т.е. $x^2 = 8y$.
Из второго уравнения $2x - y = 6$ выразим $y = 2x - 6$ и подставим в $x^2 = 8y$: $x^2 = 8(2x - 6) = 16x - 48$.
Перенесём всё в одну часть: $x^2 - 16x + 48 = 0$. Решим квадратное уравнение: дискриминант $D = 256 - 192 = 64$, корни $x = \frac{16 \pm 8}{2}$, т.е. $x = 12$ или $x = 4$.
При $x = 12$: $y = 2\cdot12 - 6 = 18$. Проверяем условие $x_0 > y_0$: $12 > 18$ — ложно, отбрасываем.
При $x = 4$: $y = 2\cdot4 - 6 = 2$. Проверяем: $4 > 2$ — дұрыс. Значит, $(x_0, y_0) = (4, 2)$.
Где здесь ошибаются
Ошибка при переводе смешанного числа $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь (например, приняли за $1.5$ вместо $\frac{3}{2}$).
Неправильное преобразование $\log_4 y$: например, написали $\log_2 y / 4$ вместо деления на 2.
Не учли условие $x_0 > y_0$ и взяли пару $(12, 18)$, получив $-12 + 36 = 24$ — нұсқа D.