Решение: sin²x - 17sin x + 16 = 0 теңдеуін шешіңіз және оның x ∈ [-π/2;π/2] аралығындағы түбірлерін табыңыз.
$\sin^2x - 17\sin x + 16 = 0$ теңдеуін шешіңіз және оның $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ аралығындағы түбірлерін табыңыз.
Шешім по шагам
3 қадамОбозначим $\sin x = t$. Тогда уравнение примет вид $t^2 - 17t + 16 = 0$.
$$t^2 - 17t + 16 = 0$$Решим квадратное уравнение: дискриминант $D = (-17)^2 - 4\cdot1\cdot16 = 289 - 64 = 225 = 15^2$. Корни: $t = \frac{17 \pm 15}{2}$ → $t_1 = 16$, $t_2 = 1$.
$$t = \frac{17 \pm 15}{2}$$Поскольку $\sin x \in [-1, 1]$, значение $t = 16$ не подходит. Остаётся $\sin x = 1$. Решим уравнение $\sin x = 1$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$: решение — $x = \frac{\pi}{2}$ (так как $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, и это единственное решение в данном интервале).
$$\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$$Где здесь ошибаются
Выбор $t=16$ как допустимого значения $\sin x$, что противоречит области определения синуса.
Неправильное решение $\sin x = 1$: например, принятие $x = -\frac{\pi}{2}$ (там $\sin x = -1$) или $x = 0$ (там $\sin x = 0$).
Путаница с интервалом: считают, что $\sin x = 1$ имеет два решения в $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, но на самом деле только одно.