Решение: Теңсіздікті шешіңіз: 3²ˣ⁺² -3ˣ⁺⁴ < 3ˣ -9
Решение по шагам
5 шаговПоделим обе части неравенства на $3^x > 0$, чтобы упростить показатели.
$$3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9 \\ \Rightarrow 3^{x+2} - 3^4 < 1 - 9 \cdot 3^{-x}$$Сделаем замену $t = 3^x > 0$. Тогда $3^{2x} = t^2$, $3^{x+2} = 9t$, $3^{x+4} = 81t$.
$$9t^2 - 81t < t - 9$$Перенесём всё в левую часть и упростим неравенство относительно $t$.
$$9t^2 - 82t + 9 < 0$$Найдём корни квадратного трехчлена: $D = (-82)^2 - 4\cdot9\cdot9 = 6724 - 324 = 6400$, $\sqrt{D}=80$. Корни: $t = \frac{82 \pm 80}{18}$ → $t_1 = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$, $t_2 = \frac{162}{18} = 9$.
$$9t^2 - 82t + 9 = 9(t - \frac{1}{9})(t - 9)$$Неравенство $9t^2 - 82t + 9 < 0$ выполняется при $t \in (\frac{1}{9}; 9)$. Поскольку $t = 3^x$, то $\frac{1}{9} < 3^x < 9$. Возведём в логарифм по основанию 3: $-2 < x < 2$.
$$x \in (-2; 2)$$Где здесь ошибаются
Забыли, что при делении на $3^x$ знак не меняется (но оно положительно), ошиблись в знаках при переносе членов, неправильно решили квадратное неравенство (взяли замкнутый интервал), не учли, что $t>0$, либо ошиблись при вычислении корней кв