Решение: Поворот собирающей линзы
Точечный источник света $S$ расположен на расстоянии $40\ \text{см}$ от оптического центра тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $0{,}2\ \text{м}$ на её главной оптической оси $AB$. При повороте линзы на угол $\alpha$ относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через её оптический центр, изображение источника сместилось вдоль прямой $AB$ на $10\ \text{см}$. Определите угол поворота линзы. Сделайте пояснительный чертёж, указав ход лучей в линзе для обоих случаев её расположения.
Решение по шагам
7 шаговПереведём фокусное расстояние в сантиметры: $f=0{,}2\ \text{м}=20\ \text{см}$. До поворота линзы расстояние от источника до линзы равно $a=40\ \text{см}$.
$$f=20\ \text{см},\qquad a=40\ \text{см}$$По формуле тонкой линзы найдём расстояние до изображения в первоначальном положении.
$$\frac{1}{f}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b_0},\qquad b_0=\frac{af}{a-f}=\frac{40\cdot20}{40-20}=40\ \text{см}$$После поворота линзы на угол $\alpha$ продольная координата источника относительно новой главной оптической оси становится равной $a\cos\alpha$. С учётом построения изображения для наклонной линзы координата изображения, отсчитанная вдоль исходной прямой $AB$, равна
$$x=\frac{af}{a\cos\alpha-f}$$При повороте линзы изображение сместилось по прямой $AB$ на $10\ \text{см}$. Поскольку при повороте изображение удаляется от линзы, его новая координата равна $x=40+10=50\ \text{см}$.
$$\frac{40\cdot20}{40\cos\alpha-20}=50$$Решим уравнение относительно угла поворота.
$$800=50(40\cos\alpha-20),\qquad 40\cos\alpha=36,\qquad \cos\alpha=0{,}9$$Находим угол поворота линзы.
$$\alpha=\arccos 0{,}9\approx25{,}8^\circ$$На пояснительном чертеже необходимо показать: в первоначальном положении линзы луч, идущий параллельно главной оси, после линзы проходит через фокус, а луч через оптический центр не преломляется; во втором положении главная ось линзы наклонена на угол $\alpha$, и аналогичные лучи пересекаются в смещённой точке изображения.
\alpha\approx25{,}8^\circ\approx26^\circ
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не переводят фокусное расстояние $0{,}2\ \text{м}$ в сантиметры.
Используют расстояние от источника до линзы как расстояние до изображения.
Считают, что после поворота изображение смещается в сторону линзы, а не от неё.
Не учитывают проекцию расстояния до источника на новую главную оптическую ось: $a\cos\alpha$.
На чертеже не показывают ход луча через оптический центр и луча, параллельного главной оптической оси.