Решение: Изображение треугольника линзой
Равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой $2{,}5\ \text{дптр}$ так, что его катет $AC$ лежит на главной оптической оси линзы. Вершина прямого угла $C$ лежит дальше от центра линзы, чем вершина острого угла $A$, расстояние от центра линзы до точки $A$ равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, $AC = 4\ \text{см}$. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Решение по шагам
6 шаговОптическая сила линзы связана с фокусным расстоянием соотношением $D=\dfrac{1}{f}$. Поэтому
$$f=\frac{1}{D}=\frac{1}{2{,}5}\ \text{м}=0{,}4\ \text{м}=40\ \text{см}$$Точка $A$ находится на расстоянии $2f=80\ \text{см}$ от линзы. Для неё формула тонкой линзы даёт
$$\frac{1}{40}=\frac{1}{80}+\frac{1}{b_A},\qquad b_A=80\ \text{см}$$Так как точка $A$ расположена на расстоянии $2f$, её изображение $A'$ находится на другом конце двойного фокуса. Линейное увеличение по модулю равно единице, поэтому высота изображения отрезка $AB$ равна $4\ \text{см}$, но изображение перевёрнуто.
Точка $C$ находится на расстоянии $80+4=84\ \text{см}$ от линзы. Для её изображения $C'$ получаем
$$\frac{1}{40}=\frac{1}{84}+\frac{1}{b_C},\qquad b_C=\frac{40\cdot84}{84-40}=\frac{840}{11}\ \text{см}$$Точки $A'$ и $B'$ находятся на расстоянии $80\ \text{см}$ от линзы, а точка $C'$ — на расстоянии $\frac{840}{11}\ \text{см}$. Поэтому основание изображения $A'C'$ равно
$$A'C'=80-\frac{840}{11}=\frac{40}{11}\ \text{см}$$Изображение треугольника является прямоугольным треугольником с катетами $A'C'=\frac{40}{11}\ \text{см}$ и $A'B'=4\ \text{см}$. Его площадь равна
$$S=\frac{1}{2}\cdot\frac{40}{11}\cdot4=\frac{80}{11}\ \text{см}^2\approx7{,}3\ \text{см}^2$$Изображение — перевёрнутый прямоугольный треугольник; его площадь $S=\dfrac{80}{11}\ \text{см}^2\approx7{,}3\ \text{см}^2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно переводят оптическую силу в фокусное расстояние.
Считают, что изображение точки $C$ также находится на расстоянии $2f$, не учитывая, что $C$ расположена дальше точки $A$.
Забывают, что собирающая линза даёт перевёрнутое действительное изображение.
Используют для площади исходного треугольника длину $AC=4\ \text{см}$ вместо длины основания изображения $A'C'$.