Решение: Изображения крайних положений маятника
Математический маятник совершает колебания в плоскости рисунка с амплитудой $A = 1\ \text{см}$. Равновесное положение нити маятника находится на расстоянии $l = \sqrt{5}\ \text{см}$ от переднего фокуса собирающей линзы. Крайние положения груза маятника лежат на главной оптической оси линзы. Найдите расстояние между изображениями двух крайних положений груза маятника, если оптическая сила линзы равна $50\ \text{дптр}$.
Решение по шагам
5 шаговПереведём оптическую силу линзы в фокусное расстояние:
$$f = \dfrac{1}{D} = \dfrac{1}{50}\ \text{м} = 0{,}02\ \text{м} = 2\ \text{см}$$Расстояния от переднего фокуса до крайних положений груза равны $l-A$ и $l+A$. Поэтому расстояния от линзы до этих положений:
$$a_1 = f + l - A,\qquad a_2 = f + l + A$$Для тонкой линзы расстояние от линзы до изображения можно выразить через расстояние от переднего фокуса до предмета $x=a-f$:
$$\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ \Rightarrow\ b=f+\dfrac{f^2}{x}$$Для двух крайних положений $x_1=l-A$ и $x_2=l+A$. Расстояние между изображениями:
$$\Delta b = f^2\left(\dfrac{1}{l-A}-\dfrac{1}{l+A}\right)=\dfrac{2f^2A}{l^2-A^2}$$Подставим значения:
$$\Delta b=\dfrac{2\cdot(2\ \text{см})^2\cdot1\ \text{см}}{(\sqrt{5}\ \text{см})^2-(1\ \text{см})^2}=\dfrac{16}{4}\ \text{см}=4\ \text{см}$$Расстояние между изображениями двух крайних положений груза равно $4\ \text{см}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считают расстояние от линзы до груза, используя $l\pm A$ вместо $f+l\pm A$.
Забывают перевести оптическую силу в фокусное расстояние.
Используют расстояние до переднего фокуса непосредственно в формуле тонкой линзы вместо расстояния от линзы до предмета.