Решение: Температура аргона после смешения
Два одинаковых теплоизолированных сосуда соединены короткой трубкой с краном. Объём каждого сосуда $V = 1\ \text{м}^3$. В первом сосуде находится $\nu_1 = 1\ \text{моль}$ гелия при температуре $T_1 = 400\ \text{К}$; во втором — $\nu_2 = 3\ \text{моль}$ аргона при температуре $T_2$. Кран открывают. После установления равновесного состояния давление в сосудах $p = 5{,}4\ \text{кПа}$. Определите первоначальную температуру аргона $T_2$.
Решение по шагам
6 шаговСосуды теплоизолированы, поэтому при открытии крана внутренняя энергия всей системы сохраняется. Гелий и аргон — одноатомные идеальные газы, для которых внутренняя энергия пропорциональна произведению количества вещества на температуру.
$$U = \dfrac{3}{2}\nu RT$$После открытия крана газы занимают общий объём, равный сумме объёмов сосудов.
$$V_{\text{общ}} = 2V = 2\ \text{м}^3$$Найдём конечную температуру смеси по уравнению состояния идеального газа.
$$p(2V) = (\nu_1+\nu_2)RT \quad \Rightarrow \quad T = \dfrac{p(2V)}{(\nu_1+\nu_2)R}$$Подставим числовые значения: $p = 5{,}4\ \text{кПа} = 5{,}4\cdot10^3\ \text{Па}$, $\nu_1+\nu_2=4\ \text{моль}$.
$$T = \dfrac{5{,}4\cdot10^3\cdot2}{4\cdot8{,}31} \approx 325\ \text{К}$$Запишем закон сохранения внутренней энергии для начального и конечного состояний.
$$\nu_1T_1+\nu_2T_2=(\nu_1+\nu_2)T$$Выразим первоначальную температуру аргона и подставим найденную конечную температуру.
$$T_2=\dfrac{(\nu_1+\nu_2)T-\nu_1T_1}{\nu_2}=\dfrac{4\cdot325-1\cdot400}{3}\approx300\ \text{К}$$$T_2 \approx 300\ \text{К}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают, что после открытия крана общий объём газов равен $2V$.
Используют разные значения теплоёмкости для гелия и аргона, хотя оба газа одноатомные.
Не переводят давление из килопаскалей в паскали.
Нарушают закон сохранения энергии, приравнивая начальную и конечную температуры.