Решение: Нагрев газа под поршнем
В вертикальном цилиндре с гладкими стенками, открытом сверху, под поршнем находится одноатомный идеальный газ. В начальном состоянии поршень массой $M$ и площадью основания $S$ покоится на высоте $h$, опираясь на выступы. Давление газа $p_0$ равно внешнему атмосферному. Какое количество теплоты $Q$ нужно сообщить газу при медленном нагревании, чтобы поршень оказался на высоте $H$? Тепловыми потерями пренебречь.
Считайте, что поршень движется без трения, а давление газа после начала подъёма поршня остаётся постоянным.
Решение по шагам
6 шаговСначала газ нагревается при неподвижном поршне, поэтому его объём остаётся равным $V_0=Sh$. После начала движения поршня на газ действуют атмосферное давление и сила тяжести поршня.
$$p_1S=p_0S+Mg$$Давление газа во время подъёма поршня постоянно и равно
$$p_1=p_0+\frac{Mg}{S}$$Начальное состояние газа характеризуется параметрами $p_0$ и $V_0=Sh$, а конечное — параметрами $p_1$ и $V_1=SH$. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии определяется формулой
$$\Delta U=\frac{3}{2}(p_1V_1-p_0V_0)=\frac{3}{2}(p_1SH-p_0Sh)$$Работа газа совершается только при перемещении поршня от высоты $h$ до высоты $H$. Поскольку давление постоянно, работа равна
$$A=p_1(V_1-V_0)=p_1S(H-h)$$По первому закону термодинамики количество сообщённой теплоты равно сумме изменения внутренней энергии и работы газа.
$$Q=\Delta U+A=\frac{3}{2}(p_1SH-p_0Sh)+p_1S(H-h)$$После приведения подобных слагаемых и подстановки значения $p_1$ получаем итоговое выражение.
$$Q=S\left[\frac{5}{2}\left(p_0+\frac{Mg}{S}\right)H-\left(\frac{3}{2}p_0+p_0+\frac{Mg}{S}\right)h\right]$$Q=\frac{5}{2}S\left(p_0+\frac{Mg}{S}\right)H-\left(\frac{5}{2}p_0S+Mgh\right)h
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают этап нагревания при неподвижном поршне.
Считают давление во время подъёма равным только атмосферному.
Вычисляют работу газа по всему процессу, хотя при постоянном объёме работа равна нулю.
Используют формулу для внутренней энергии, не учитывая различие начального и конечного давлений.