Решение: Ускорение шарика на нити
Маленький шарик, подвешенный к потолку на лёгкой нерастяжимой нити, совершает колебания в вертикальной плоскости. Максимальное отклонение нити от вертикали составляет угол $\alpha = 60^\circ$. Сделайте рисунок с указанием сил, приложенных к шарику в тот момент, когда шарик движется вправо-вверх, а нить образует угол $\beta = 30^\circ$ с вертикалью. Покажите на рисунке, куда направлено в этот момент ускорение шарика: по нити, перпендикулярно нити, внутрь траектории, наружу от траектории. Ответ обоснуйте. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение по шагам
6 шаговНа шарик действуют сила тяжести $m\vec g$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec T$, направленная вдоль нити к точке подвеса. На рисунке также следует показать результирующее ускорение $\vec a$.
По второму закону Ньютона результирующая сил определяет ускорение шарика:
$$\vec T + m\vec g = m\vec a$$Радиальная составляющая ускорения направлена по нити к точке подвеса. Найдём скорость шарика в положении $\beta = 30^\circ$ из закона сохранения механической энергии. В крайнем положении скорость равна нулю:
$$\frac{mv^2}{2} = mgL(\cos\beta - \cos\alpha)$$Следовательно, радиальная составляющая ускорения равна:
$$a_r = \frac{v^2}{L} = 2g(\cos30^\circ - \cos60^\circ) \approx 0{,}73g$$Тангенциальная составляющая ускорения вызвана составляющей силы тяжести вдоль касательной. Поскольку шарик движется к крайнему правому положению, эта составляющая направлена к положению равновесия, то есть вверх и влево:
$$a_\tau = g\sin\beta = g\sin30^\circ = 0{,}5g$$Обе составляющие имеют направления внутрь области, ограниченной траекторией: радиальная направлена к точке подвеса, а тангенциальная — к положению равновесия. Поэтому результирующий вектор ускорения направлен внутрь траектории, между радиальным и тангенциальным направлениями, а не строго по нити и не строго перпендикулярно ей.
На шарик действуют сила тяжести вниз и сила натяжения нити к точке подвеса. Ускорение имеет радиальную составляющую к точке подвеса и тангенциальную составляющую к положению равновесия; поэтому результирующее ускорение направлено внутрь траектории.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Направляют силу натяжения от точки подвеса, а не к ней.
Считают, что ускорение всегда направлено только по нити.
Не учитывают тангенциальную составляющую ускорения, вызванную силой тяжести.
Путают направление скорости с направлением ускорения.