Решение: Теплота в газовом цикле
Изменение состояния постоянной массы одноатомного идеального газа происходит по циклу, показанному на рисунке. При переходе из состояния 1 в состояние 2 газ совершает работу $A_{12}=5$ кДж. Какое количество теплоты газ получает за цикл от нагревателя?
График цикла газа в координатах $p$–$V$. Саму картинку ещё готовим — у остальных задач темы она на месте.
Решение по шагам
7 шаговПо графику координаты состояний равны: $1(V_0,2p_0)$, $2(3V_0,2p_0)$, $3(V_0,p_0)$. Работа на участке 1–2 задана:
$$A_{12}=2p_0(3V_0-V_0)=4p_0V_0=5\ \text{кДж}$$Следовательно, $p_0V_0=1{,}25$ кДж. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии определяется формулой:
$$\Delta U=\frac{3}{2}\Delta(pV)$$На участке 1–2 газ расширяется при постоянном давлении. Изменение внутренней энергии и количество теплоты равны:
$$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}(6p_0V_0-2p_0V_0)=6p_0V_0;\quad Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=10p_0V_0$$На участке 2–3 давление изменяется линейно от $2p_0$ до $p_0$, а объём уменьшается от $3V_0$ до $V_0$. Работа равна площади трапеции с учётом знака:
$$A_{23}=\frac{2p_0+p_0}{2}(V_0-3V_0)=-3p_0V_0$$Для участка 2–3 изменение внутренней энергии и количество теплоты имеют отрицательные значения:
$$\Delta U_{23}=\frac{3}{2}(p_0V_0-6p_0V_0)=-\frac{15}{2}p_0V_0;\quad Q_{23}=-\frac{21}{2}p_0V_0<0$$На участке 3–1 объём постоянен, поэтому работа равна нулю. Газ получает теплоту:
$$A_{31}=0;\quad Q_{31}=\Delta U_{31}=\frac{3}{2}(2p_0V_0-p_0V_0)=\frac{3}{2}p_0V_0$$Количество теплоты, полученное от нагревателя, равно сумме положительных количеств теплоты на участках 1–2 и 3–1:
$$Q_{\text{нагревателя}}=Q_{12}+Q_{31}=\left(10+\frac{3}{2}\right)p_0V_0=11{,}5\cdot1{,}25=14{,}375\ \text{кДж}$$Количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл, равно $14{,}375$ кДж, или примерно $14{,}4$ кДж.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать количество теплоты за цикл алгебраической суммой всех теплот, включая теплоту, отданную холодильнику.
Не учитывать отрицательный знак работы при сжатии на участке 2–3.
Использовать только работу газа вместо суммы положительных количеств теплоты на участках нагревания.