Решение: Подъём воздушного шара
Воздушный шар наполняется горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении. Абсолютная температура $T$ горячего воздуха в 2 раза больше температуры $T_0$ окружающего воздуха. При каком отношении массы оболочки к массе наполняющего её воздуха шар начнёт подниматься? Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.
Массой груза и объёмом материала оболочки шара пренебречь.
Решение по шагам
6 шаговВ момент начала подъёма сила Архимеда, действующая на шар, равна весу горячего воздуха и оболочки:
$$F_A=(m_{\text{возд}}+m_{\text{об}})g$$Сила Архимеда равна весу вытесненного окружающего воздуха. Поэтому условие равновесия на границе подъёма имеет вид:
$$\rho_0 Vg=(m_{\text{возд}}+m_{\text{об}})g$$Давление горячего воздуха равно атмосферному давлению, как и давление окружающего воздуха. Для идеального газа при одинаковом давлении плотность обратно пропорциональна абсолютной температуре:
$$\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{T_0}{T}=\frac{1}{2}$$Масса горячего воздуха в шаре равна $m_{\text{возд}}=\rho V$, поэтому $\rho_0V=2m_{\text{возд}}$.
Подставляя это соотношение в условие начала подъёма, получаем:
$$2m_{\text{возд}}=m_{\text{возд}}+m_{\text{об}}$$Следовательно, масса оболочки должна быть равна массе горячего воздуха.
$$\frac{m_{\text{об}}}{m_{\text{возд}}}=1$$Отношение массы оболочки к массе наполняющего её воздуха равно $1:1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Использовать отношение плотностей, равное $T/T_0$, вместо обратного отношения $T_0/T$.
Не учитывать массу оболочки в условии равенства сил.
Считать, что при открытом отверстии давление внутри шара отличается от атмосферного.