Решение: Площадь поршня по первому закону термодинамики
В вертикальном цилиндре с гладкими стенками, открытом сверху, под поршнем массой $M$ и конечной площадью основания находится одноатомный идеальный газ. В первоначальном состоянии поршень покоится на высоте $h$, опираясь на выступы на внутренней стороне стенок цилиндра. Давление газа $p_0$ равно внешнему атмосферному. Газу сообщили количество теплоты $Q$, и в результате медленного расширения газа нижняя сторона поршня оказалась на высоте $H$. Тепловыми потерями пренебречь. Чему равна площадь основания поршня $S$?
Решение по шагам
6 шаговВ начальном состоянии объём газа равен $V_1=Sh$, а давление — $p_1=p_0$. После отрыва поршня от выступов его движение происходит медленно при постоянном внешнем давлении.
$$p_2=p_0+\frac{Mg}{S},\qquad V_2=SH$$Работа газа при подъёме поршня равна произведению постоянного давления на изменение объёма.
$$A=p_2(V_2-V_1)=\left(p_0+\frac{Mg}{S}\right)S(H-h)=\left(p_0S+Mg\right)(H-h)$$Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа определяется изменением произведения давления на объём.
$$\Delta U=\frac{3}{2}(p_2V_2-p_1V_1)=\frac{3}{2}\left[(p_0S+Mg)H-p_0Sh\right]$$По первому закону термодинамики количество теплоты равно сумме изменения внутренней энергии и работы газа.
$$Q=\frac{3}{2}\left[(p_0S+Mg)H-p_0Sh\right]+(p_0S+Mg)(H-h)$$Раскрывая скобки и решая полученное уравнение относительно $S$, получаем искомую площадь.
$$Q=\frac{5}{2}p_0S(H-h)+Mg\left(\frac{5}{2}H-h\right)$$Следовательно, площадь основания поршня равна:
$$S=\frac{2Q-Mg(5H-2h)}{5p_0(H-h)}$$$S=\dfrac{2Q-Mg(5H-2h)}{5p_0(H-h)}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать работу газа на подъём поршня.
Считать давление газа равным только атмосферному после отрыва поршня.
Использовать формулу внутренней энергии для многоатомного газа вместо $\Delta U=\dfrac{3}{2}\Delta(pV)$.
Не учитывать начальный участок нагревания при неподвижном поршне в общем изменении внутренней энергии.