Решение: Температура подъёма воздушного шара
Воздушный шар, оболочка которого имеет массу $M = 145\ \text{кг}$ и объём $V = 230\ \text{м}^3$, наполняется при нормальном атмосферном давлении горячим воздухом, нагретым до температуры $t = 265\ ^\circ\text{C}$. Определите максимальную температуру $t_0$ окружающего воздуха, при которой шар начнёт подниматься. Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.
Решение по шагам
6 шаговВ момент начала подъёма сила Архимеда равна весу оболочки и находящегося в шаре горячего воздуха:
$$\rho_0 V g = Mg + \rho V g$$Сокращая $g$ и выражая плотности воздуха через уравнение идеального газа, получаем:
$$\frac{pV}{R T_0} = M + \frac{pV}{R T}$$Температура горячего воздуха в кельвинах равна:
$$T = t + 273 = 265 + 273 = 538\ \text{К}$$Отсюда температура окружающего воздуха:
$$\frac{1}{T_0} = \frac{1}{T} + \frac{MR}{pV}$$При нормальном атмосферном давлении $p \approx 1{,}0 \cdot 10^5\ \text{Па}$ и $R \approx 287\ \text{Дж/(кг\cdot К)}$:
$$T_0 = \left(\frac{1}{538} + \frac{145\cdot287}{1{,}0\cdot10^5\cdot230}\right)^{-1} \approx 490\ \text{К}$$Переводим результат в градусы Цельсия:
$$t_0 = T_0 - 273 \approx 490 - 273 \approx 217\ ^\circ\text{C}$$Максимальная температура окружающего воздуха составляет примерно $t_0 \approx 217\ ^\circ\text{C}$, то есть около $218\ ^\circ\text{C}$ с учётом округления.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют температуру в градусах Цельсия вместо абсолютной температуры в кельвинах.
Не учитывают массу горячего воздуха внутри шара.
Приравнивают выталкивающую силу только к весу оболочки.
Забывают, что из-за отверстия давление внутри шара равно атмосферному.