Решение: Свободное падение с полусферы
На горизонтальной поверхности неподвижно закреплена абсолютно гладкая полусфера радиусом $R = 2{,}5\ \text{м}$. С её верхней точки из состояния покоя соскальзывает маленькое тело. В некоторой точке тело отрывается от сферы и летит свободно. Найдите время свободного падения тела от момента отрыва до падения на поверхность. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение по шагам
9 шаговПусть $\alpha$ — угол между вертикальным радиусом, проведённым к точке отрыва, и вертикалью. До отрыва тело движется по внешней поверхности полусферы.
В точке отрыва сила реакции опоры равна нулю. Проекция второго закона Ньютона на радиальное направление имеет вид:
$$mg\cos\alpha = \frac{mv^2}{R}$$По закону сохранения механической энергии между верхней точкой и точкой отрыва:
$$mgR(1-\cos\alpha)=\frac{mv^2}{2}$$Из первого уравнения $v^2 = gR\cos\alpha$. Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем:
$$gR(1-\cos\alpha)=\frac{gR\cos\alpha}{2},\qquad \cos\alpha=\frac{2}{3}$$Скорость тела в момент отрыва и координаты точки отрыва относительно горизонтальной поверхности равны:
$$v^2=\frac{2gR}{3},\qquad y_0=R\cos\alpha=\frac{2R}{3}$$Вертикальная составляющая скорости направлена вниз и равна:
$$v_y=v\sin\alpha=\sqrt{\frac{2gR}{3}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}=\sqrt{\frac{10gR}{27}}$$После отрыва тело движется как тело, брошенное вертикально вниз с высоты $y_0$. Условие падения на горизонтальную поверхность:
$$\frac{2R}{3}-\sqrt{\frac{10gR}{27}}t-\frac{gt^2}{2}=0$$Положительный корень этого уравнения:
$$t=\frac{1}{g}\left(\sqrt{\frac{10gR}{27}}+\sqrt{\frac{46gR}{27}}\right)=\sqrt{\frac{R}{27g}}\left(\sqrt{10}+\sqrt{46}\right)$$При $R=2{,}5\ \text{м}$ и $g\approx10\ \text{м/с}^2$:
$$t\approx0{,}96\ \text{с}$$$t\approx0{,}96\ \text{с}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют условие $mg = \dfrac{mv^2}{R}$ вместо радиальной проекции силы тяжести.
Считают высоту точки отрыва равной $R$, хотя она равна $\dfrac{2R}{3}$.
Не учитывают вертикальную составляющую скорости тела в момент отрыва.
Выбирают отрицательный корень квадратного уравнения для времени.