Решение: КПД тепловой машины
В качестве рабочего тела в тепловой машине используется идеальный одноатомный газ, который совершает циклический процесс, состоящий из изобарного нагревания $1 \to 2$, изохорного охлаждения $2 \to 3$ и адиабатного сжатия $3 \to 1$. КПД этой тепловой машины $\eta = 20\%$. Найдите отношение работы $A_{12}$, совершённой газом в изобарном процессе, к работе $A'_{31}$, совершённой над газом при адиабатном сжатии.
Решение по шагам
5 шаговЗа один цикл газ получает тепло только на участке $1 \to 2$, поскольку участок $2 \to 3$ является охлаждением, а участок $3 \to 1$ — адиабатным.
$$Q_{\text{подв}} = Q_{12}$$На участке $2 \to 3$ работа газа равна нулю, так как процесс изохорный. Работа газа при адиабатном сжатии отрицательна, поэтому работа внешних сил над газом равна $A'_{31}$.
$$A_{\text{ц}} = A_{12} - A'_{31}$$Для одноатомного идеального газа $C_p = \dfrac{5}{2}R$. При изобарном процессе работа газа равна $A_{12} = \nu R\Delta T$, а количество теплоты $Q_{12} = \nu C_p\Delta T$.
$$Q_{12} = \dfrac{5}{2}A_{12}$$Подставим выражения для работы цикла и подведённого количества теплоты в формулу КПД. Обозначим искомое отношение через $x = A_{12}/A'_{31}$.
$$\eta = \frac{A_{12}-A'_{31}}{(5/2)A_{12}} = \frac{1 - 1/x}{5/2}$$Используем значение КПД $\eta = 0{,}20$ и решим уравнение.
$$0{,}20 = \frac{1 - 1/x}{2{,}5};\quad 1 - \frac{1}{x} = 0{,}5;\quad x = 2$$Подробное решение приводит к отношению $\dfrac{A_{12}}{A'_{31}} = 2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать работу на изохорном участке отличной от нуля.
Использовать работу газа при сжатии как положительную величину вместо работы внешних сил над газом.
Взять для одноатомного газа значение $C_p = \dfrac{3}{2}R$ вместо $C_p = \dfrac{5}{2}R$.
Включить тепло, отведённое на участке $2 \to 3$, в подведённое к газу тепло.