Решение: Переход из координат U–p в p–V
На рисунке 1 приведена зависимость внутренней энергии $U$ одного моля идеального одноатомного газа от его давления $p$ в процессе $1\text{–}2\text{–}3$. Постройте график этого процесса на рисунке 2 в переменных $p$–$V$. Точка, соответствующая состоянию 1, уже отмечена на этом рисунке. Построение объясните, опираясь на законы молекулярной физики.
Решение по шагам
4 шагаВнутренняя энергия одного моля одноатомного идеального газа зависит только от температуры.
$$U=\frac{3}{2}RT$$Из уравнения состояния идеального газа для одного моля $pV=RT$. Исключая температуру, получаем связь между координатами исходного и искомого графиков.
$$V=\frac{RT}{p}=\frac{2U}{3p}$$Для каждой точки процесса на графике $U(p)$ нужно определить соответствующий объём по формуле $V=\dfrac{2U}{3p}$. Состояние 1 уже нанесено на графике $p$–$V$; состояния 2 и 3 наносятся аналогично.
После нанесения состояний 1, 2 и 3 участки процесса соединяют в том же порядке. Если на исходном участке $U$ постоянно, то температура постоянна и в координатах $p$–$V$ получается изотерма $pV=\text{const}$. Если давление постоянно, то на графике $p$–$V$ получается горизонтальный участок. Если внутренняя энергия постоянна, то температура постоянна.
График строится по преобразованию $V=\dfrac{2U}{3p}$: каждой точке графика $U(p)$ соответствует точка $(V,p)$ на графике $p(V)$; состояния 1, 2 и 3 соединяются в порядке процесса.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют зависимость $V=\dfrac{2p}{3U}$ вместо правильной формулы $V=\dfrac{2U}{3p}$.
Путают координаты: на искомом графике по горизонтальной оси откладывают $V$, а по вертикальной — $p$.
Соединяют состояния 1, 2 и 3 не в порядке протекания процесса.
Не учитывают, что внутренняя энергия одноатомного идеального газа зависит только от температуры.