Решение: Решение показательного неравенства
Решите неравенство $\dfrac{x^3+x^2-x-1}{4^{x^2}-8\cdot 2^{x^2}+16}\ge 0$.
Решение по шагам
5 шаговРазложим числитель на множители группировкой:
$$x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)^2(x-1)$$Преобразуем знаменатель:
$$4^{x^2}-8\cdot 2^{x^2}+16=(2^{x^2})^2-8\cdot 2^{x^2}+16=(2^{x^2}-4)^2$$Знаменатель равен нулю, если $2^{x^2}=4$, то есть $x^2=2$. Поэтому точки $x=-\sqrt{2}$ и $x=\sqrt{2}$ исключаются из области допустимых значений.
$$x\ne\pm\sqrt{2}$$На остальных точках знаменатель положителен. Следовательно, необходимо решить условие $(x+1)^2(x-1)\ge 0$. Так как $(x+1)^2\ge 0$, знак произведения определяется множителем $x-1$, при этом точка $x=-1$ также является нулём выражения.
$$x=-1\quad\text{или}\quad x\ge 1$$Из полученного множества исключаем точку $x=\sqrt{2}$, где знаменатель равен нулю. Точка $x=-\sqrt{2}$ в найденное множество не входит.
$$x\in\{-1\}\cup[1;\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty)$$Ответ: $\{-1\}\cup[1;\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают точки $x=\pm\sqrt{2}$, в которых знаменатель равен нулю.
Ошибочно считают, что множитель $(x+1)^2$ меняет знак.
Исключают точку $x=-1$, хотя числитель в ней равен нулю, а знаменатель не равен нулю.