Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\log_{0,5}(x^3-3x^2-9x+27)\leq\log_{0,25}(x-3)^4$.
Решение по шагам
6 шаговНайдём область допустимых значений. Аргумент второго логарифма должен быть положительным: $x-3>0$, поэтому $x>3$. При $x>3$ аргумент первого логарифма также положителен после разложения.
$$x>3$$Разложим выражение под первым логарифмом на множители.
$$x^3-3x^2-9x+27=x^2(x-3)-9(x-3)=(x-3)^2(x+3)$$Преобразуем неравенство с учётом оснований логарифмов. Так как $0,5<1$ и $0,25<1$, получаем неравенство между аргументами в обратном порядке после приведения к основанию $2$.
$$\log_{0,5}A\leq\log_{0,25}B\Longleftrightarrow -\log_2A\leq-\frac12\log_2B\Longleftrightarrow \log_2A\geq\frac12\log_2B$$Подставим аргументы логарифмов и возведём обе части в степень $2$.
$$(x-3)^2(x+3)\geq\sqrt{(x-3)^4}=(x-3)^2$$Так как по ОДЗ $x>3$, величина $(x-3)^2$ положительна, поэтому можно разделить на неё.
$$x+3\geq1$$Полученное неравенство выполняется при любом $x>3$, следовательно, пересечение с ОДЗ даёт искомое множество.
Ответ: $x\in(3;+\infty)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учесть ОДЗ и включить точку $x=3$.
Забыть, что основания обоих логарифмов меньше единицы.
Неверно разложить многочлен $x^3-3x^2-9x+27$ на множители.
При преобразовании корня забыть, что по ОДЗ $x-3>0$.