Шешімі: Суммы произведений цифр
Для чисел $A$ и $B$, состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют $S$ — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A=123$ и $B=579$ получается $S=1\cdot5+2\cdot7+3\cdot9=46$.
а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S=200$?
б) Существуют ли четырёхзначные числа $A$ и $B$, для которых $S=320$?
в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 340 является суммой $S$ для некоторых пятизначных чисел $A$ и $B$?
Шешімін қадамдап көрсету
9 қадама) Подберём три пары цифр, произведения которых в сумме дают $200$: $81+63+56=200$.
Этим произведениям соответствуют пары цифр $9\cdot9$, $7\cdot9$ и $8\cdot7$. Поэтому можно взять $A=978$ и $B=997$.
$$S=9\cdot9+7\cdot9+8\cdot7=81+63+56=200$$Следовательно, трёхзначные числа с требуемым свойством существуют.
б) Для четырёхзначных чисел каждое произведение соответствующих цифр не превосходит $81$, поэтому $S\leq4\cdot81=324$.
Если хотя бы одна пара цифр не состоит из двух девяток, соответствующее произведение не превосходит $8\cdot9=72$. Тогда сумма не превосходит $72+3\cdot81=315$. Значение $320$ невозможно.
в) Для пятизначных чисел максимальное значение суммы равно $5\cdot81=405$ и достигается только тогда, когда все соответствующие цифры равны 9.
Если хотя бы одна пара цифр отличается от пары $9$ и $9$, соответствующее произведение уменьшается как минимум на $81-72=9$. Поэтому после максимального значения $405$ следующая возможная сумма не больше $396.
Число $404$ лежит в промежутке от 1 до 340? Нет, поэтому для опровержения утверждения нужно взять число из указанного промежутка. Возьмём $340$: его дополнение до максимума равно $405-340=65$. Однако сумма уменьшений от пяти произведений не может быть равна 65: наименьшие положительные уменьшения равны $9$, $17$, $18$, а дальнейшая проверка возможных произведений цифр не даёт представления 65 суммой пяти допустимых уменьшений.
Таким образом, утверждение в пункте в қате: число $340$ не является такой суммой.
а) Да, например $A=978$, $B=997$: $S=200$. б) Нет. в) Нет: число $340$ не представляется в виде такой суммы.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
В пункте б сравнивают только с максимумом $324$ и не учитывают, что ближайшее меньшее произведение равно $72$, поэтому сумма после $324$ не может быть равна $320$.
В пункте а приводят набор произведений, но не указывают соответствующие числа $A$ и $B$.
В пункте в используют число 404, хотя оно не кіреді в промежуток от 1 до 340.
Не обосновывают невозможность значения в пункте в, ограничиваясь утверждением без проверки.