Шешімі: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $3^{\log_3(\log_3 x)}+(\log_9 x)^2-8\le 0$.
Шешім по шагам
7 қадамНайдём область допустимых значений. Для существования выражения $\log_3(\log_3 x)$ необходимо, чтобы $\log_3 x>0$, откуда $x>1$.
$$x>1$$Введём замену $t=\log_3 x$. Тогда $t>0$, а первый член неравенства упрощается:
$$3^{\log_3(\log_3 x)}=3^{\log_3 t}=t$$Выразим логарифм по основанию $9$ через логарифм по основанию $3$:
$$\log_9 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 9}=\frac{t}{2}$$Подставим выражения в исходное неравенство:
$$t+\left(\frac{t}{2}\right)^2-8\le 0$$Умножим на $4$ и разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$t^2+4t-32\le 0,\qquad (t+8)(t-4)\le 0$$Шешім полученного неравенства: $-8\le t\le 4$. С учётом условия $t>0$ получаем $0<t\le 4$.
$$0<t\le 4$$Возвращаемся к переменной $x$. Так как основание логарифма $3>1$, функция $3^t$ возрастает:
$$1<x\le 3^4=81$$$(1;81]$
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать условие $\log_3 x>0$.
Ошибочно считать, что $\log_9 x=\log_3 x$.
Забыть ограничение $t>0$ после замены.