Шешімі: Сечение треугольной пирамиды
В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной $6$. Боковое ребро пирамиды равно $5$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=2:1$. Через точку $T$ параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Шешім по шагам
6 қадамОбозначим через $P$, $Q$ и $R$ точки пересечения секущей плоскости с рёбрами $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно. Так как плоскость проходит через $T$ параллельно $AC$, в грани $ACD$ отрезок $TR$ параллелен $AC$, а в грани $ABC$ отрезок $PQ$ параллелен $AC$.
В треугольнике $ADB$ через точку $T$ проведена прямая, параллельная $BD$. По теореме о пропорциональных отрезках точка $P$ делит $AB$ так, что $AP:PB=1:2$. Аналогично в треугольнике $BCD$ получаем $BQ:QC=2:1$ и $CR:RD=1:2$.
Следовательно, $PQ\parallel TR\parallel AC$, а $TP\parallel QR\parallel BD$. Поэтому $TPQR$ — параллелограмм.
В правильной треугольной пирамиде проекция вершины $D$ на основание является центром равностороннего треугольника $ABC$. Поэтому диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны: $AC\perp BD$. Значит, $PQ\perp TP$, и параллелограмм $TPQR$ является прямоугольником.
Так как $AC=6$ и $PQ=\dfrac{1}{3}AC$, получаем $PQ=2$. Поскольку $BD=5$ и $TP=\dfrac{2}{3}BD$, имеем $TP=\dfrac{10}{3}$.
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: $S=PQ\cdot TP=2\cdot\dfrac{10}{3}=\dfrac{20}{3}$.
Сечение является прямоугольником со сторонами $2$ и $\dfrac{10}{3}$, его площадь равна $\dfrac{20}{3}$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Қате определяют точки пересечения секущей плоскости с рёбрами пирамиды.
Забывают доказать перпендикулярность направлений $AC$ и $BD$.
Используют длины исходных рёбер $AC$ и $BD$ вместо соответствующих отрезков сечения.